Demostrar el homeomorfismo del hemisferio superior (y del inferior) a la n-esfera.

Question

Hola Estoy atascado en un ejercicio de mi libro de Topología Algebraica y, lamentablemente, soy incapaz de resolverlo (al menos el (b) parte, (a) fueron bastante sencillas para mí). El problema es el siguiente:

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Considere el mapa $f:\mathbb{R}^{n+1}\to\mathbb{R}^{n+1}$ definido por $$f(x_0,..,x_n)=(2x_0x_n,2x_1x_n,..,2x_{n-1}x_n,2x_n^2-1).$$

(a) Verifique que $f$ restringe a un mapa de $S^n$ a $S^n$

(b) Demuestre que las restricciones de $f$ a los hemisferios superior e inferior,

$$D_+^n=\{x\in S^n|x_n\geq 0\},\quad D_-^n=\{x\in S^n|x_n\leq 0\},$$

dan lugar a homeomorfismos

$$D_+^n/\partial D_+^n\to S^n,\quad D_-^n/\partial D_-^n\to S^n$$

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Solución:

(a) Dejemos que $(x_0,..,x_n)\in\mathbb{R}^{n+1}$ tal que $\sum_{i=0}^n x_i^2=1$ . entonces $(2x_0x_n)^2+\cdots + (2x_{n-1}x_n)^2 + (2x_n^2-1)^2=4x_0^2x_n^2+\cdots + 4x_{n-1}^2x_n^2+4x_n^4-4x_n^2+1=4x_n^2\sum_{i=0}^n x_i^2-4x_n^2+1=4x_n^2-4x_n^2+1=1$ . $\text{}$

Esto demuestra que $f$ restringe a un mapa de $S^n$ a $S^n$ .

(b) Creo que esto también debería ser fácil. Pero creo que mi mayor problema es que no sé realmente qué es un elemento de $D_+^n/\partial D_+^n$ y $D_-^n/\partial D_-^n$ parece. Si alguien puede ayudarme con uno de los casos quizás pueda resolver el segundo por mí mismo. Además, no entiendo muy bien por qué (a) era parte del mismo problema. ¿Debo utilizarlo para resolver (b) ?

Cualquier ayuda será muy apreciada :)

Answer 1

Hay un teorema de topología que puede ser útil, a saber, si $f : X \to Y$ es un mapa suryectivo continuo de un espacio compacto a un espacio de Hausdorff, entonces $f$ es un mapa cociente. Como corolario, si tomamos la "descomposición de preimágenes puntuales" en $X$ , es decir, la descomposición definida por la relación de equivalencia $\sim$ donde $x_1 \sim x_2 \iff f(x_1)=f(x_2)$ entonces el espacio cociente $X/\!\!\sim$ es homeomorfo a $Y$ . De hecho, el mapa $X/\!\!\sim \, \to Y$ que $f$ induce es un homeomorfismo. Puedes encontrar este material, por ejemplo, en Munkres "Topología".

Utilizando la parte (a), se tiene una fórmula a partir de la cual la continuidad de $f$ es evidente, y además la continuidad de la restricción de $f$ a cualquier subconjunto de su dominio también es evidente. Por tanto, puedes hacer la parte (b) aplicando la parte (a) y el teorema que he citado. Lo único que hay que hacer es comprobar las hipótesis, a saber $f | D^n_+$ se somete a $S^n$ y la descomposición de la preimagen puntual de $f | D^n_+ : D^n_+ \to S^n$ consta de un elemento de descomposición $\partial D^n_+$ más un elemento de descomposición puntual para cada punto individual de $D^n_+ - \partial D^n_+$ .