¿Cómo puedo solucionar $2x+ \frac{3}{5} =1 $ $Z_7$?

Question

¿Cómo puedo solucionar: $$2x+ \frac{3}{5} =1 $$ in $ $Z_7?

Puedo controlar cualquier elemento de $Z_7$ y conseguir la solución, pero yo pido algoritmo para preguntas de este tipo (que funcione para cualquier $Z_n$)

Answer 1

\begin{eqnarray} 10x+3&=& 5\\ 20x+6&=& 10\\ -x-1&=&3 \\ x&=&-4 \\ x&=&3 \end{eqnarray}

Así $x=7k+3$.

Answer 2

Esto no es algorythm per se pero lo haría así:

$$ 2 x + \frac {3} {5} \equiv 1 \ (\bmod 7) $$ $$ 10 x +3\equiv 5 \ (\bmod 7) $$ $$ 3x\equiv 2 \ (\bmod 7) $$ $$ 15x\equiv 10 \ (\bmod 7) $$ $$ x\equiv 3 \ (\bmod 7) $$

Answer 3

implica la $3 \cdot 5 = 15 \equiv 1 \bmod 7$ $\dfrac15 \equiv 3 \bmod 7$ y así $\dfrac35 \equiv 9 \bmod 7$

implica de $2x+9 \equiv 1$ $x \equiv -4 \equiv 3 \bmod 7$

Answer 4

Recordemos que, en $\Bbb Z_n$, $a^{\varphi(n)-1}=a^{-1}$ % todos $a\in \Bbb Z_n^*$. Si $n=p_1^{h_1}\cdots p_m^{h_m}$ es la descomposición en factores primeros distintos, entonces $$\varphi(n)=\left(p_1^{h_1}-p_1^{h_1-1}\right)\left(p_2^{h_2}-p_2^{h_2-1}\right)\cdots\left(p_m^{h_m}-p_m^{h_m-1}\right)=n\frac{(p_1-1)(p_2-1)\cdots(p_m-1)}{p_1p_2\cdots p_m}.$$ This should provide you with the tools you need to compute fractions that make sense and to solve equations in the form $ax=b\pmod n$ when $\operatorname{gcd}(a,n) = 1$.