Álgebra de Clifford: Producto cuña, producto cruz y dualidad de Hodge

Question

He estado leyendo algunos artículos relacionados con el Teorema de Bell que implican el Álgebra de Clifford. Lo estoy investigando para un proyecto de grado, pero ninguno de mis profesores parece saber nada sobre las álgebras de Clifford.

En este documento, encontré el producto cuña definido por la "identidad conocida (dualidad de Hodge)": $$ a\wedge b = I \cdot (a \times b)$$

He buscado en la red esto de la dualidad de Hodge y sólo encuentro cosas oscuras sobre la estrella de Hodge... Lo cual está muy fuera de mi alcance en este momento.

Para el contexto, $a$ y $b$ son direcciones arbitrarias de los aparatos de Stern-Gerlach y los vectores base son e(x,y,z).

Intenté calcular la cuña de $a$ y $b$ por mí mismo y he llegado hasta aquí:

$$a \wedge b = a \cdot b + (a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})e_{x}e_{y}+(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})e_{x}e_{z}+(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})e_{y}e_{z}$$

Hice el producto cruzado, que se parece...

$$a \times b = (a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})e_{z}-(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})e_{y}+(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})e_{x}$$

... pero no es exactamente lo que necesito.

Por la inspección, yo pensaría que tendría que tener ese producto punto de alguna manera desaparecer en el I y uno de los vectores en el bivector de alguna manera también desaparecer en el I con el fin de obtener ese producto cruzado.

Según el documento, I se define como un trivector:

$$I = e_{x} \wedge e_{y} \wedge e_{z}$$

¿Estoy cometiendo un error al utilizar $$e_{x} \wedge e_{y} = e_{x}e_{y}$$

¿para simplificar? ¿O es otra cosa?

Y por si te lo preguntas, el artículo que hablaba de esta "identidad bien conocida (dualidad de Hodge)" no la citaba... Presumiblemente porque es realmente conocida. Pero no para mí, un estudiante de grado, ni para mis profesores, que no estudian este campo.

(He cruzado el mensaje con SE.Math aquí .)

Referencias:

1. Artículo principal .

2. El crítico que hace referencia a la dualidad de Hodge . (Hay MUCHAS más críticas; sólo estoy tratando de entender más el teorema de Bell y por qué JC intentaría esto).

Answer 1

En primer lugar, tenga en cuenta mi pequeña advertencia al final de mi respuesta.

La cuña y la cruz son el mismo dual de Hodge en 3 dimensiones. Sí, estas cosas son bien conocidas, pero permíteme sugerir que te ciñas a las 3 dimensiones conceptualmente por el momento. Un área dirigida en tres dimensiones, es decir una sección de un plano, está definida por la normal unitaria a la misma, y a la inversa. Esta es una forma de visualizar el dual de Hodge en tres dimensiones. Así pues, pensemos que la cuña define el plano abarcado por los dos vectores que se acoplan; este plano también puede definirse por el vector normal a él, que es el producto cruzado; la magnitud del producto cruzado es el área definida por el paralelogramo definido por los dos vectores en cuña. Así que en esencia son la misma información, y tu procedimiento es esencialmente correcto, pero cometes un pequeño error con el ordenamiento de las componentes. La forma de ordenarlos es:

$$\hat{e}_x\wedge \hat{e}_y \quad\leftrightarrow\quad \hat{e}_z$$ $$\hat{e}_z\wedge \hat{e}_x \quad\leftrightarrow\quad \hat{e}_y$$ $$\hat{e}_y\wedge \hat{e}_z \quad\leftrightarrow\quad \hat{e}_x$$

donde escribo $\leftrightarrow$ para el isomorfismo que mapea de forma invertida los miembros de la base de área dirigida a los miembros de la base vectorial. Este isomorfismo representado por $\leftrightarrow$ es el dual de Hodge en 3 dimensiones. Obsérvese que obtengo cada vector de la derecha como el producto cruzado entre los dos argumentos en cuña de la izquierda; alternativamente, cada fórmula se desprende de su precursora permutando cíclicamente los miembros de la precursora (donde la fórmula anterior a la primera es la última fórmula).

Observe que esto sólo funciona en tres dimensiones. En cuatro dimensiones, un plano no puede ser definido por una normal unitaria. Tanto $\hat{e}_z$ y $\hat{e}_t$ son normales linealmente independientes del plano abarcado por $\hat{e}_x$ y $\hat{e}_y$ . Así que el producto cruzado es una especie de "accidente" en tres dimensiones, por lo que podemos visualizar la noción más general de dual de Hodge por la noción más simple de "normal a un plano".

Una vez que haya comprendido el significado del producto cruzado en 3D, probablemente le resultará más fácil leer sobre las álgebras exteriores y de Clifford.

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Las álgebras de Clifford son en realidad un poco más generales que el álgebra exterior, que se ocupa de la cuña. (Las álgebras exteriores pueden considerarse como el caso especial en el que la forma cuadrática devuelve el vector cero a lo largo de la diagonal). Por lo tanto, si se trata de entender esto último, puede ser útil leer primero el álgebra exterior y luego pasar a las álgebras de Clifford. Pero a algunas personas les resulta más fácil sumergirse en la situación más general, pero más abstracta, de Clifford desde el principio; parece que tus textos están adoptando este enfoque, que es el favorecido por el enfoque pedagógico de las álgebras de Clifford conocido como Álgebra geométrica . Entienda que hay varios enfoques; pruebe ambos. Puede que quiera leer este hilo para conocer diversas opiniones sobre los méritos relativos de los enfoques, pero tenga cuidado de no creerse un dogma, ya que cada persona aprende de forma diferente.

Answer 2

El producto en cuña también se denomina producto exterior.

Su primera fórmula establece un isomorfismo entre el producto exterior $\wedge$ Sólo funciona en 3D. Geométricamente, el producto cruz es el área con signo; mientras que el producto exterior es el paralelopípedo con signo; por lo tanto, podemos ver el producto exterior como una generalización del producto cruz a una dimensión arbitraria.

El producto exterior de k vectores da los k-vectores; este espacio también es cerrado bajo sumas. Por tanto, no sólo es $u \wedge v$ es un vector 2 para $u$ & $v$ como vectores, pero también lo es $u\wedge v + x\wedge v$ , para $x$ y $y$ como vectores. Además, el producto exterior de un $k$ -vectorial y $l$ -es un vector $k+l$ -vectorial; La dualidad de Hodge, a través de la estrella de Hodge, da un isomorfismo entre $k$ -vectores & $(n-k)$ -vectores.

El producto de Clifford generaliza el producto exterior a través de una forma cuadrática auxiliar; cuando esta forma cuadrática es sólo la forma cuadrática cero, entonces el producto de Clifford es exactamente el producto exterior.