¿Por qué suponemos que las soluciones a la ecuación diferencial y ' ' =-ky son senos y cosenos?

Question

Por qué suponemos que las soluciones a la segunda ecuación diferencial de orden del formulario

$$y''=-ky$$

¿son senos y cosenos? Parece bastante obvio que este es el caso, dado que la única diferencia entre el $y$y su segunda derivada es una constante negativa sólo por inspección. ¿Sin embargo, hay una manera formal para mostrar que los senos y cosenos son adecuadas soluciones a la ecuación diferencial?

Answer 1

Normalmente, cuando se tiene una ecuación con coeficientes constantes, se asume que el $e^{rx}$ es una solución, porque la $e^{rx}$ tiene la maravillosa propiedad de que su derivada es$re^{rx}$, lo que, a continuación, ayuda a obtener un polinomio, que se llama el polinomio característico. En otras palabras, supongamos que su ecuación es:

$$a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_1y'+a_0y=g(x)$$

Primero trate de resolver el caso homogéneo que es más fácil, es decir, el lado derecho es $0$.

Ahora, supongamos que el $e^{rx}$ es una solución. Usted obtendrá:

$$(a_nr^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots+a_1r+a_0)e^{rx}=0$$

Desde $e^{rx}$ nunca se desvanece, el polinomio debe desaparecer.

Las raíces de este polinomio, se llama el polinomio característico, si pasar a ser distinto, se dará de forma independiente de las funciones lineales. Si una raíz había una multiplicidad de más de $n>1$, de tomar las funciones como $e^{rx},xe^{rx},\cdots,x^{n-1}e^{rx}$ obtener $n$ linealmente independientes de las funciones.

Hacemos todo esto porque las soluciones de la homogénea ODE con coeficientes constantes es un espacio vectorial, en el sentido de que si $f(x)$ $g(x)$ son dos soluciones, a continuación, $\alpha f(x) + \beta g(x)$ también es una solución para cualquier $\alpha,\beta \in \mathbb{R}$. Por lo tanto, como un espacio vectorial, si podemos encontrar bastantes soluciones linealmente independientes de la homogeneidad de la educación a distancia, vamos a ser capaces de describir el espacio de soluciones mediante el uso de las soluciones linealmente independientes.

Lo que es más importante, $\sin(x)$ $\cos(x)$ son de hecho las funciones exponenciales en el disfraz, vinculados por la fórmula de Euler $$e^{irt}=\cos(rt)+i\sin(rt)$$ y esta es la razón por la que aparecen en el proceso de solución de ecuaciones diferenciales muy a menudo.

Answer 2

Por supuesto, esto sólo es cierto para $k>0$. Dado que el $k>0$, decir $k=a^2$. Decir $\alpha=y(0)$$\beta=y'(0)/a$, y definir $$z(t) = y(t) - (\alpha\cos(at)+\beta\sin(at)).$$

Entonces es fácil ver que $$z''=-kz,\quad z(0)=z'(0)=0.$$

Aquí está el truco: la regla de La cadena muestra que $$(kz^2+(z')^2)'=2kzz'+2z z" =2z'(kz+z")=0.$$So $z^2+(z')^2$ is constant; since $z(0)=z'(0)=0$ this shows that $$kz(t)^2+z'(t)^2=0$$for all $t$. And now since $kz^2\ge0$ and $(z')^2\ge0$ it follows that $kz^2=0=(z')^2.$ In particular $z(t)=0$, so $$y(t)=\alpha\cos(at)+\beta\sin(at).$$

Ejercicio De La Diversión 1. Encontrar la derivación de la ecuación diferencial que describe el movimiento de un peso suspendido de un muelle en una de ecuaciones diferenciales libro, y contemplar cómo la prueba anterior es inspirado por la conservación de la energía.

Divertido Ejercicio 2. Tenga en cuenta que hemos probado esto:

Si $y''+y=0$$y(0)=y'(0)=0$$y=0$.

Use esto para probar la adición de fórmulas para el seno y el coseno.

Sugerencia: en Lugar de escribir la adición fórmula del seno como $\sin(\alpha+\beta)=\dots$, escribir en el formulario de $$\sin(\alpha+t)-(\dots)=0.$$

Answer 3

La manera formal es el teorema de existencia y unicidad de la solución.

NOTA

Para resolver sin pecado y coseno puede conectar también en $y=e^{st}$

Answer 4

Como usted ha observado, se puede adivinar que $\sin$ $\cos$ trabajo y, a continuación, invocar un teorema que dice que una vez que hayas encontrado dos soluciones independientes el conjunto completo de soluciones es el conjunto de combinaciones lineales.

Si no supongo que pero sabía un poco de teoría, usted sabe que las soluciones de una ecuación diferencial como este puede ser construido a partir de las raíces complejas de la ecuación cuadrática $z^2 +1 = 0$, por lo que se $y = e^{ix}$$y=e^{-ix}$. A continuación, utilizar la fórmula de Euler y combinarlos para encontrar las funciones trigonométricas.