Si $x,y,z\in {\mathbb R}$, resolver esta ecuación del sistema:

Question

Si $x,y,z\in {\mathbb R}$, resolver esta ecuación del sistema:

$$ \left\lbrace\begin{array}{ccccccl} x^4 & + & y^2 & + & 4 & = & 5yz \\[1mm] y^{4} & + & z^{2} & + & 4 & = &5zx \\[1mm] z^{4} & + & x^{2} & + & 4 & = & 5xy \end{array}\right. $$

Esto es una Olimpiada pregunta en Turquía (no internacional), que, no pude solucionarlo.

Mi idea:

$xy=a \\ yz=b \\ xz=c$

$$ \left\lbrace\begin{array}{ccccccl} a^2c^3 & + & b^3a & + & 4b^2c & = & 5b^3c \\[1mm] a^{3}b^2 & + & bc^3 & + & 4c^2a & = &5c^3a \\[1mm] b^{3}c^2 & + & a^3c & + & 4a^2b & = & 5a^3b \end{array}\right. $$

Sí, lo sé, esta es una idea estúpida, porque no funcionaba en absoluto (la última ecuación del sistema es más difícil).

Answer 1

He comprobado las Posibles Soluciones de fondo. La siguiente solución es posible:

$$x^4+y^2+4+y^4+z^2+4+z^4+x^2+4-5yz-5xz-5xy=0 \Rightarrow (x^4-4x^2+4)+(y^4-4y^2+4)+(z^4-4z^2+4)+\left(\frac {5x^2}{2}-5xy+\frac {5 a^2}{2} \right)+\left(\frac {5x^2}{2}-5xz+\frac {5z^2}{2} \right)+\left(\frac {5 a^2}{2}-5yz+\frac {5z^2}{2} \right)=0\Rightarrow (x^2-2)^2+(y^2-2)^2+(z^2-2)^2+\left(x \sqrt{\frac 52}-y \sqrt{\frac 52}\right)^2+ \left(x \sqrt{\frac 52}-z \sqrt{\frac 52}\right)^2+ \left(y \sqrt{\frac 52}-z \sqrt{\frac 52}\right)^2=0$$

Usted puede continuar a partir de aquí.

Sólo las soluciones se $x=y=z=±\sqrt2$

Answer 2

Resumiendo las equtions encontrará:

$$\sum_{cyc} x_i^4 + \sum_{cyc} x_i^2 - 5\sum_{cyc} x_ix_j +12= 0$$

Ahora manipular de tal manera que la igualdad como suma de cuadrados!

POR EJEMPLO

$$-5xy =\frac52 \left( x-y\right)^2-\frac52x^2-\frac52y^2$$

Es decir:

$$x^4+y^4+z^4-4x^2-4y^2-4z^2+\frac52 \left( x-y\right)^2+\frac52 \left(y-z\right)^2+\frac52 \left( z-x\right)^2+12=0$$

$$(x^2-2)^2+(y^2-2)^2+(z^2-2)^2+\frac52 \left( x-y\right)^2+\frac52 \left(y-z\right)^2+\frac52 \left( z-x\right)^2=0$$

El sistema tiene 2 soluciones diferentes:

$$x=y=z=\sqrt 2$$

y

$$x=y=z=-\sqrt 2$$

Answer 3

El sistema se puede escribir como sigue

$$ \left\lbrace\begin{array}{clc}\tag{1} \left( {x}^{2}-2 \right) ^{2}+ \left( y-z \right) ^{2}+ \left( x-z \right) \left( x+z \right) +3\,({x}^{2}-\,zy)&=&0 \\ \\[1mm] \left( {y}^{2}-2 \right) ^{2}+ \left( z-x \right) ^{2}+ \left( y-x \right) \left( y+x \right) +3(\,{y}^{2}-\,zx)&=&0 \\ \\[1mm] \left( {z}^{2}-2 \right) ^{2}+ \left( x-y \right) ^{2}+ \left( z-y \right) \left( z+y \right) +3(\,{z}^{2}-\,xy) &=&0 \end{array}\right. $$

Ahora una solución de $(1)$ es $x=y=z=\sqrt{2}$ que se menciona en el primer comentario.

Answer 4

Otra manera, añadiendo le %#% $ #% donde $$\sum x^4 + \sum x^2 +4 =5\sum xy$ representa sumas cíclicas. Sin embargo de AM-GM, $\sum$ y $\sum (x^4+4) \geqslant 4\sum x^2$.

Así que necesitamos la igualdad en tanto esas desigualdades, que es posible iff $\sum x^2 \ge \sum xy$.