En la distancia mínima a lo largo de una órbita

Question

Que $\Gamma$ sea un no trivial grupo de isometries de $\mathbb{S}^n$, $n \geq 2$, actuando bien de forma discontinua. $p \in \mathbb{S}^n$, Definir

$$r(p) = \min_{g \in \Gamma \setminus\{e\} } d(p, g(p)), $$

es decir, $r(p)$ es la distancia mínima a $p$ de un punto en su órbita. Como la esfera es una variedad homogénea, espero $r$ a ser una función constante, aunque no podía probarlo. ¿Pensamientos sobre él?

Answer 1

Dado un grupo de $G$ que actúa sobre un espacio métrico $X$ definir la función de desplazamiento $\delta_g(x):= d(x, g(x))$, $g\in G$. Una manera en que la función de desplazamiento de $g$ puede ser constante es si el centralizador $C(g)$ $g$ en el grupo de isometría de $X$ actúa transitivamente sobre $X$. La razón es que el $\delta_g= \delta_{fgf^{-1}}$. Por lo tanto, para $f\in C(g)$, $$ \delta_g(f(x))= d(gf(x), f(x))= d(f^{-1}g f(x), x)= d(g(x), x)= \delta_{g}(x) $$ Por lo tanto, si $C(g)$ actos transtively en $X$, $\delta_g$ es constante.

De lo contrario, $\delta_g$ tiende a ser no constante. Por ejemplo, si $g$ es una isometría del espacio Euclidiano, a continuación, $\delta_g$ es constante si y sólo si $g$ es una traducción. Si $X$ es un espacio hiperbólico, entonces es aún peor, $\delta_g$ es constante si y sólo si $g=id$. Ahora, considere el caso en que $X=S^{n-1}$ con el estándar angular métrica $d$.

Lema. $g\in O(n)$ tiene la constante de desplazamiento en $(S^{n-1},d)$ si y sólo si $g=\pm id$ (si $n$ es impar) o por cualquiera de los dos autovalores $\lambda_1, \lambda_2$ $g$ tenemos $\lambda_1=\lambda_2^{\pm 1}$ (si $n$ es incluso). (Tenga en cuenta que todos los autovalores $\lambda$ tienen valor absoluto $1$, por lo tanto $\lambda^{-1}= \bar\lambda$.)

Prueba. Voy a considerar el caso más interesante de $n=2k$ y salir a trabajar fuera de la impar-dimensional caso. Supongamos que $g\in O(n)$ actúa en $S^{n-1}$ con la constante de desplazamiento de la función.

Deje $\lambda^{\pm 1}_1,...,\lambda^{\pm 1}_k$ denotar el complejo autovalores de a $g$ (tomada con la multiplicidad). Si algunos de $\lambda_j=1$ $g$ tiene un punto fijo en $S^n$, por lo tanto, $\delta_g$ constante implica que $g=id$. Del mismo modo, si algunos de $\lambda_j=-1$, luego de su unidad autovector $v\in {\mathbb R}^n$,$d(v, gv)=\pi$, por lo tanto, $d(u, gu)=\pi$ todos los $u\in S^{n-1}$, es decir,$g=-id$.

Supongamos, por tanto, que todos los autovalores de a $g$ son no-real.

Deje $E_1\oplus ...\oplus E_k={\mathbb R}^{2k}$ ser el espacio propio de la descomposición: Cada una de las $E_j$ es de 2 dimensiones y si se identifican isométricamente con el plano complejo, entonces $g$ actúa en $E_j$ a través de la multiplicación por $\lambda_j$ o $\lambda_j^{-1}$. A continuación, vamos a calcular los desplazamientos de las restricciones de $g$ a los círculos $E_j\cap S^{n-1}$: Por un vector unitario $u\in E_j$, tenemos $$ d(u, \lambda_j u)= |arg(\lambda_j)|. $$ De ello se desprende que los argumentos de todos los autovalores de a $g$ tiene la forma $\pm \theta$ fijos $\theta\in [-\pi, \pi]$. Por lo tanto, $\lambda_j=e^{\pm i\theta}$$j=1,...,n$.

A la inversa de la dirección es igual de agradable: en Virtud de la adecuada identificación de ${\mathbb R}^{2k}$ con ${\mathbb C}^k$, $g$ actúa como una multiplicación escalar $$ u\mapsto e^{i\theta}u, u\in {\mathbb C}^k. $$ A partir de esto es fácil ver que $g$ actúa con la displacemnt $\theta$$S^n$. También se puede observar que el centralizador de tal $g$ $O(n)$ $U(k)$ y, por lo tanto, actúa transitivamente sobre $S^{n-1}$. qed

Tenga en cuenta que la función de desplazamiento de $g\in O(n)$ es claramente real-analítica. Por lo tanto, si es constante en un abierto no vacío es subconjunto de a $S^{n-1}$ $\delta_g$ es constante en toda la esfera.

Ahora, a su pregunta. Usted tiene un subgrupo finito $G<O(n)$ a actuar libremente en $S^{n-1}$ y definir la función $$ r(p)= \min_{g\in G - e} \delta_g(p). $$ Esta función es seccionalmente-analítica en $S^{n-1}$: existe una nowehere subconjunto denso $E\subset S^{-1}$, de tal manera que para cada componente de $U$ $S^{n-1} -E$ existe $g=g_U\in G$ tal que $$ r|_U= \delta_g|_U. $$ Ahora, si la función de $r$ fueron constantes en $S^{n-1}$, tendríamos que para cada $g_U$, $\delta_{g_U}$ es una constante. Así, lo que queda es encontrar un subgrupo finito $G< O(n)$ a actuar libremente en $S^{n-1}$ de manera tal que el único elemento $g\in G$, con una constante $\delta_g$ es la identidad. En vista del lema, es suficiente con considerar el caso de $n$ y buscar $G$ de manera tal que todos los $g\in G-\{e\}$ tiene al menos dos autovalores con distinta (valores absolutos) de sus argumentos.

Por ejemplo: Considere la posibilidad de un grupo finito $G$ generado por la transformación ortogonal $$ g: (z,w) \mapsto (e^{2\pi i/p}z, (e^{4\pi i/p}w), $$ donde $(z,w)\in {\mathbb C}^2$ donde $p>3$ es primo. Por ejemplo, $p= 7$, los que más me gusta de $p=5$ de alguna manera.

Answer 2

Quiero añadir un poco más de explicación sobre Moishe Cohen ejemplo :

i) Considerar la posibilidad de una curva de $c(t):=(e^{2\pi t}z,0)$$S^3$. Si $U_\varepsilon(c)$ es un tubular de barrio, entonces hay una diffeomorphism $$ f : S^1\times B_\varepsilon(0) \rightarrow U_\varepsilon(c)$$ s.t. (1) $B_\varepsilon(0)$ es plana $\varepsilon$-ball

(2) $B_\varepsilon (0)$ se identifica a $\varepsilon$-ball en $c'(t)^\perp$

(3) $ f(t,x)=\exp_{c(t)}\ x $ y

(4) Si $U_\varepsilon (c)$ tiene una libre acción isométrica $g(z,w)=(e^\frac{2\pi i}{p} z,e^\frac{2\pi i l}{p} w)$, then $f$ conserva la libre acción isométrica.

ii) Si arreglamos $x_0\in c'(0)^\perp,\ |x_0|=\varepsilon$, a continuación, defina $r_t:=\exp_{c(t)} \ x_t$ donde $x_t$ es un paralelo transporte de $x_0$ a lo largo de $c(t)$. Desde $S^3$ no es plana, colector, por lo $x_0\neq x_\delta$ pequeña $\delta\neq 0$.

iii) tenga en cuenta que $d(r_\delta,r_0)<2\pi\delta$.

iv) Aquí todos los números en la secuencia de número natural. Entonces hay $p_i,\ u_i$ s.t. $p_i,\ u_i\rightarrow \infty$, $0< u_i<p_i$, $p_i$ es un primer y $\frac{2\pi u_i}{p_i}\rightarrow 2\pi \delta $.

Si el ángulo entre el $x_0$ $x_\delta$ $\theta$ donde $\theta$ es pequeño, entonces hay una secuencia $p_i,\ r_i$ s.t. $0<r_i<p_i$ y $\frac{2\pi r_i}{p_i}\rightarrow\theta$.

En más hay $l_i,\ m_i$ .t. $l_i,\ m_i\rightarrow \infty$ y $\delta l_i- m_i \rightarrow \frac{\theta }{2\pi}$.

Por lo tanto, si $g^{u_k}\cdot (z,w)= (\frac{2\pi u_ki}{p_k} z, \frac{2\pi u_kl_k i}{p_k} w)$, then $d(g^{u_k} \cdot r_0, r_\delta)\rightarrow 0$.