¿Un espacio métrico genera una topología si abierto bolas se definen como $B_\sigma(X,\varepsilon)=\{y\in X; |\sigma(x,y)-\sigma(x,x)|<\varepsilon\}$?

Question

La siguiente es una cita del documento de A. Amini-Harand: Métrica-como los espacios, parcial métrica espacios y puntos fijos, DOI: 10.1186/1687-1812-2012-204

Definición 2.1. Un mapeo $\sigma\colon X\times X\to\mathbb R^+$ donde $X$ es un conjunto no vacío, se dice que es la métrica como en la $X$ si por cualquier $x$, $y$, $z$ la condición siguiente verdad:

• $\sigma(x,y)=0$ $\Rightarrow$ $x=y$
• $\sigma(x,y)=\sigma(y,x)$
• $\sigma(x,z)\le \sigma(x,y)+\sigma(y,z)$

El par $(X,\sigma)$ a continuación, se llama a una métrica de espacio. A continuación, una métrica como en la $X$ satisface todas las condiciones de una métrica, excepto que $\sigma(x,x)$ puede ser positiva para el $x\in X$. Cada métrica-como $\sigma$ $X$ genera una topología $\tau_\sigma$ $X$ cuya base es la familia de abrir $\sigma$-bolas $$B_\sigma(x,\varepsilon)=\{y\in X; |\sigma(x,y)-\sigma(x,x)|<\varepsilon\} \qquad\text{for all $x\in X$ and $\varepsilon>0$.}$$

A continuación, una secuencia $\{x_n\}$ en una métrica de espacio, se converge a un punto de $x\in X$ si y sólo si $\lim_{n\to\infty} \sigma(x_n,x)=\sigma(x,x)$.

Pregunta 1. Son las afirmaciones correctas? Si sí, ¿cómo podemos mostrar que $\{B(x,\varepsilon); x\in X, \varepsilon>0\}$ es de hecho una base de la topología?

Lado observación: también he encontrado la misma condición bajo el nombre de metametric en el artículo de la Wikipedia sobre la métrica (versión actual). La referencia es: Väisälä, Jussi (2005), "Gromov hiperbólico espacios", Expositiones Mathematicae, 23 (3): 187-231, doi: 10.1016/j.exmath.2005.01.010. Sin embargo, la topología en este trabajo se define de manera diferente. (Por ejemplo, un punto de $x$ es aislado siempre $\sigma(x,x)>0$.)

He experimentado un poco con algunos espacios finitos. Supongo que yo podría haber perdido algo, pero esto parece ser un contraejemplo a la afirmación de que esta es una base.

Ejemplo. Deje $X=\{a,b,c\}$ y definimos $\sigma(x,y)$ como sigue: $$ \begin{array}{c|ccc} & a & b & c \\\hline a & 1 & 1 & 2 \\ b & 1 & 2 & 2 \\ c & 2 & 2 & 3 \end{array} $$ Esta $\sigma$ es, obviamente, simétrica. La implicación $\sigma(x,y)=0$ $\Rightarrow$ $x=y$ es vacuously verdadero. Por lo que sigue siendo para comprobar la desigualdad de triángulo $$\sigma(x,z)\le \sigma(x,y)+\sigma(y,z).$$ Para cualquier elección de $x$, $y$, $z$ tenemos $\sigma(x,y)+\sigma(y,z)\ge1+1=2$. Así que la única posibilidad para comprobar es $x=z=c$. Para ver que esto es cierto, basta notar que $$\sigma(c,c)\le2\sigma(c,x)=\sigma(c,x)+\sigma(x,c)$$ para cualquier elección de $x$. (Nos sale bien $3\le2\cdot2$ o $3\le2\cdot3$.)

Como lo que yo puedo decir, las bolas se define anteriormente no dar una base. Tenemos $B_1=B(a,1/2)=\{a,b\}$$B_2=B(b,1/2)=\{b,c\}$. Pero la intersección $B_1\cap B_2=\{b\}$ no contiene ningún abrir balón $B(x,\varepsilon)$.

Pregunta 2. Es mi contraejemplo mal? ¿De dónde me equivoco?

DESCARGO de responsabilidad: Esta es una modificación de una pregunta se pidió originalmente en MathOverflow: Base de la topología de las métricas de espacio. Desde la reapertura de revisión parece que es poco probable que se vuelve a abrir. Y basado en la OP comentarios, parecen reacios a publicar en otro sitio.

Para mí la pregunta no parece inmediatamente trivial. (De hecho, creo que tengo un contraejemplo, pero yo podría fácilmente haber perdido algo.) Y a juzgar por los comentarios de MO al menos uno de otro usuario mostrado interés en él. Así que me decidí a publicar aquí.

EDIT: Sólo después de la publicación de este he notado estos dos entradas antiguas: métrica-como los espacios y Métrica-como el espacio. Sin embargo, yo sólo veo una eliminados respuesta allí. Como lo que yo puedo decir, eliminados de la respuesta usos diferentes de la definición de abrir balón desde la dada anteriormente. (Utiliza open de bola se definen de la misma manera que para la métrica de los espacios.)

Answer 1

La "ampliación" de la desigualdad de triángulo parece extraño. Buscando en la definición de una pelota, yo esperaría que la adición de una constante a una ya existente métrica no cambia mucho las cosas. Sin embargo, cuando se mira en el triángulo de la desigualdad, el aumento de la constante se producen dos veces en el lado derecho y sólo una vez en el lado izquierdo.

Tal y como yo lo veo, no sólo su contraejemplo de trabajo, sino en el hecho de que usted puede hacer incluso peor. Deje $m:X \times X \to \mathbb{R}$ ser acotado, simétrica y $m(x,x) = 0$ todos los $x$. (Pero sin la necesidad de $m$ a satisfacer la desigualdad de triángulo.)

A continuación, podemos girar a la $m$ en algo para satisfacer la definición mediante la adición de una constante. Deje $M_0 = \sup_{x,y} |m(x,y)|$ y el conjunto de $$\sigma(x,y) = m(x,y) +3M_0.$$ A continuación, $\sigma(x,y) > 0$ trivialmente, la simetría, por definición, y desde $2M_0 \leq \sigma(x,y) \leq 4 M_0$ hemos $$\sigma(x,z) \leq 4M_0 \leq \sigma(x,y) + \sigma(y,z).$$

Sin embargo, como $|\sigma(x,y) - \sigma(x,x)| = |m(x,y)-m(x,x)|=|m(x,y)|$, las bolas generado por $\sigma$ son los generados por el tratamiento de la $m$ como una métrica, aunque el triángulo de la desigualdad no es satisfecho por $m$, que en general se necesita de esas bolas para generar una topología.

Curiosamente, el documento citado se menciona "parcial métricas" directamente en la introducción, con la desigualdad de triángulo ser cambiado en $$\sigma(x,z) \leq \sigma(x,y) + \sigma(y,z) - \sigma(y,y)$$ el que parece ser el derecho de corrección, haciendo este truco imposible.