Demostrar que la función $\ f(x)=\sin(x^2)$ no es uniformemente continua en el dominio $\mathbb{R}$ .

Question

Si quiero demostrar que la función $\ f(x)=\sin(x^2)$ no es uniformemente continua en el dominio $\mathbb{R}$ Necesito demostrarlo:

$\exists\varepsilon>0$ $\forall\delta>0$ $\exists{x,y}\in\mathbb{R}\ : |x-y|<\delta$ y $|\sin(x^2) - \sin(y^2)|\geq\varepsilon$ .

Así que tomemos $\varepsilon = 1$ . Entonces quiero $|\sin(x^2)-\sin(y^2)|\ge1$ . Ese es el caso si $\sin(x^2)=0$ y $\sin(y^2)=\pm1$ . Así, $x^2=n\pi$ y $y^2=n\pi + \frac{1}{2}\pi$ . Ahora estoy atascado en la expresión de x e y, que quiero expresar en $\delta$ para garantizar que $|x-y|<\delta$ .

Gracias de antemano por cualquier ayuda.

Answer 1

Has elegido $x^2=n\pi$ y $y^2 = n\pi+\frac{\pi}{2}$ para que pueda tomar $x=\sqrt{n \pi}$ y $y=\sqrt{n \pi + \frac{\pi}{2}}$ .

Entonces,

$|x-y|=\sqrt{n \pi + \frac{\pi}{2}}-\sqrt{n \pi}=\frac{n\pi + \frac{\pi}{2}-n\pi}{\sqrt{n \pi + \frac{\pi}{2}}+\sqrt{n \pi}}=\frac{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{n \pi + \frac{\pi}{2}}+\sqrt{n \pi}}<\frac{2}{2\sqrt{n \pi}}<\frac{1}{\sqrt{n}}$

Si $n > \frac{1}{\delta^2}$ entonces $|x-y|<\delta$ pero $|f(x)-f(y)|\geq 1$ . Los valores $x,y$ están muy cerca pero $f(x)$ y $f(y)$ están muy separadas. Intuitivamente, para $\epsilon = 1$ no hay $\delta$ que le permite conocer $f(x)$ dentro de la precisión $\epsilon$ si sabes $x$ dentro de la precisión $\delta$ . Las oscilaciones en $\sin(x^2)$ cada vez más rápido, en intervalos arbitrariamente pequeños la función cambia su valor de 0 a 1.

Tenga en cuenta que si cambia la función a $\sin x$ la prueba fallará, porque al tomar $x=n\pi$ y $y=n\pi+\frac{\pi}{2}$ no hace $|x-y|<\delta$ para los pequeños $\delta$ (De hecho, $y-x$ es constante). De hecho, $\sin x$ es uniformemente continua.

Answer 2

Una pista: Si $x^2=n\pi$ y $\delta>0$ , tenga en cuenta que $(x+\delta)^2>x^2+2\delta x$ . Para hacer esto $>n\pi +\frac12\pi$ basta con tener $2\delta x > \frac12 \pi$ . Esto le da una condición en $n$ .

Answer 3

También se puede decir que $f$ es uniformemente continua si y sólo si para cualquier $x_n$ y $y_n$ tal que $(x_n - y_n)\to 0 $ implica $|f(x_n) - f(y_n)| \to 0$ por lo que puede elegir, por ejemplo $x_n=n$ y $y_n=n-\frac{1}{n}$ , que vemos $x_n-y_n$ . Sin embargo tenemos que $f(x_n)-f(y_n) = 2cos(\frac{...}{2})sin(\frac{2-n^2}{2}) \not\to 0$ . Por lo tanto, vemos que la condición para $f$ siendo uniformemente continua falla.

Answer 4

Si f(x)=sin(x^2) entonces la derivada de f(x) no está acotada en la línea real, pero está acotada en cualquier subconjunto acotado de R, por lo que f(x) no es uniformemente continua en el dominio R sino uniformemente continua en cualquier subconjunto acotado de R.