Otra pregunta sobre casi seguro y la convergencia en probabilidad

Question

Convergencia en probabilidad implica convergencia en un subsequence casi seguramente.

¿Pero esto significa que arreglamos un subsequence, que $X_{n_k}$ converge casi todos $\omega$, derecho? ¿El subsequence que seleccionamos no depende del derecho de $\omega$?

Answer 1

Sí, podemos tomar una secuencia de $\{n_k\}$ que funciona para casi todas las $\omega$. A ver que, fijar un subsequence $\{n_k\}$ tales que para cada $k$, %#% $ de #% éste puede ser construido por inducción. Tenemos $$P(|X_{n_k}-X|>2^{-k})\leq 2^{-k}.$ $ por un argumento similar de la prueba del teorema de Borel-Cantelli, el hecho de que $$P(\limsup_{k\to+\infty}\{|X_{n_k}-X|>2^{-k}\})=0,$ cuando $\sum_{j\geq k}2^{-j}\to 0$. Esto demuestra la convergencia casi por todas partes de $k\to +\infty$ $\{X_{n_k}\}$.