Una fuerte desigualdad

Question

Después de toquetear cosas, llegué a preguntarme si lo siguiente tiene $0<x<1:$

$$\left(\frac{1}{x}-1\right)^x \geq (x-1)(4x^2-4x-1)$$

Para tener una idea de lo estaba tratando con traza las curvas, y resulta que éstos están muy cerca, sobre todo en $(\frac{1}{2},1)$, pero parece ser cierto en el intervalo entero. ¿Alguna idea cómo una podría probar esto?

Answer 1

Según lo sugerido por Karl Kronenfield, establezca $f(x) = x^x (1-x)^{1-x} (1+4x-4x^2)$ y establezca $g(x) = \log f(x)$. El objetivo es demostrar $f(x) \leq 1$ o, de manera equivalente, $g(x) \leq 0$. Como señaló Karl, $f(x) = f(1-x)$, por lo que es suficiente para demostrar la desigualdad en $[0,1/2]$.

A continuación, me parcela $g$ (rojo), $g'$ (azul) y $g''$ (verde) a $(0,1/2)$ para fines ilustrativos; esta prueba no se basa en la imagen. (Las escalas verticales para los tres gráficos son diferentes.)

Tenga en cuenta que $$\frac{d^2}{(dx)^2} g(x) = - \frac{(1 - 2 x)^2 (1 - 12 x + 12 x^2)}{x (1 - x) (1 + 4 x - 4 x^2)^2}$$ A partir de esto podemos calcular que $g''(x)$ está bien definido en $(0,1/2)$, de fuga en $1/2$ y a las $\alpha := (3-\sqrt{6})/6 \approx 0.092$, y la desaparición de nowehere más en $(0,1/2)$. Vemos que $g''(x)$ es positivo en $(0, \alpha)$ y negativa en $(\alpha, 1/2)$.

Por lo $g'$ es el aumento en $(0, \alpha)$ y disminuyendo en $(\alpha, 1/2)$. Junto con el hecho de que $g'(0) = - \infty$$g'(1/2)=0$, podemos ver que $g'$ debe ser positivo en $(\alpha, 1/2)$ y tiene un único cero en $(0, \alpha)$. Denotar que cero solo por $\beta$. Numéricamente, $\beta \approx 0.039$.

Por lo $g$ es la disminución en el $(0, \beta)$ y aumentando en $(\beta, 1/2)$. En particular, $g$ asume sus mayores valores en los extremos de $(0,1/2)$. Directos de computación, $g(0) = g(1/2) = 0$ como se desee.

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Metodología: Parcela $f$ y aviso de que es cóncava hacia abajo en un gran barrio de $1/2$, lo cual demuestra la desigualdad en el barrio. Decidir para calcular el tamaño exacto de ese barrio. Darse cuenta de que $\frac{d^2}{(dx)^2} f(x)$ es un gran lío, pero $\frac{d^2}{(dx)^2} \log f(x)$ es bastante simple. Dibuja un boceto de $g$ con un hipotético "spike hacia la positividad" en $[0,1/2]$. Piense acerca de cómo la concavidad de ese hipotético $g$ difiere de la concavidad de la verdadera $g$. Escribir la respuesta. Vuelva a escribir la respuesta con el agregado de los gráficos y de detalle para que suene más bonito.

Answer 2

La serie de Taylor para $(\frac 1x-1)^x$ en el centro de la $1/2$, $$1-2(x-1/2)-2(x-1/2)^2+4(x- 1/2)^3+2/3(x-1/2)^4+\cdots$$

La RHS, es decir,$(x-1)(4x^2-4x-1)$, es el tercer grado de Taylor aproximación a la LHS en 0, es decir, la serie de Taylor se cortará después de la cúbico plazo. Por desgracia, la serie no es la alternancia, así que no tengo una prueba inmediata de que el redondeo a la cúbico aproximación siempre va a disminuir el valor, así que no responden directamente a la desigualdad pregunta (aunque no explicar por qué los dos están muy cerca).