La suma infinita de integral de función positiva está limitada por lo que la función tiende a 0

Question

Que $f_n(x)$ ser funciones positivas medibles tales que $$\sum_{n=1}^\infty \int f_n \lt \infty.$ $ muestran que $f_n \to 0$ casi en todas partes.

Tentativa:

Que $\displaystyle K = \sum_{n=1}^\infty\int f_n$ y $\displaystyle S_m = \sum_{n=1}^m \int f_n$. Entonces, $\forall \epsilon \gt 0$, $\exists L$ tal que $\forall m \gt L$, $|S_m - L| \le \epsilon$.

Es decir, $\displaystyle \sum_{n=m+1}^\infty \int f_n \lt \epsilon$. Por lo tanto, debe seguir $\forall n \gt L$ tenemos $\displaystyle \int f_n \lt \epsilon $, entonces el resultado.

No sé por qué el grado de mi clase dice que esta prueba está mal.

Si me equivoco realmente, ¿Dónde está mi error?

¡Gracias!

Answer 1

Por la monotonía convergencia teorema, $$\sum_{n=1}^{\infty}\int f_{n}\ d\mu = \int \sum_{n=1}^{\infty} fn\ d\mu < \infty$ $ lo anterior implica a.e. de $\sum_{n=1}^{\infty}f_{n} < \infty$$(\mu)$. Por lo tanto, e.a. ($f_{n}(x) \rightarrow 0$) de la #% de %#%.

Answer 2

Sólo porque una secuencia de funciones ha integral tiende a cero no darle pointwise convergencia. Por ejemplo, un ejemplo común es tomar una secuencia de funciones de los indicadores movimiento de ida y vuelta dentro de $[0,1]$ más pequeños y más pequeños de apoyo; por ejemplo, los indicadores de $[0, 1/2]$$[1/2, 1]$<, a continuación,$[0, 1/3], [1/3, 2/3]$$[2/3, 1]$, y así sucesivamente. El mejor resultado que se puede obtener es de un subsequence que converge pointwise una.e.

Para empezar en una dirección diferente que da lugar a una prueba, considere la posibilidad de aplicar la Borel-Cantelli lema.

Answer 3

Definir $$ E_k=\left\{x:\limsup_{n\to\infty}f_n(x)\ge\frac1k\right\} $$ Para cada $x\in E_k$, $f_n(x)\ge\frac1{2k}$ infinitamente a menudo. Por lo tanto, para cada cada una de las $x\in E_k$ $$ \sum_{n=1}^\infty f_n(x)=\infty $$ Por lo tanto, si la medida de $E_k$ es positivo, $$ \int_{E_k}\sum_{n=1}^\infty f_n(x)\,\mathrm{d}x=\infty $$ Por lo tanto, la medida de cada una de las $E_k$ debe $0$. Por lo tanto, $$ \left|\bigcup_{k=1}^\infty E_k\right|\le\sum_{k=1}^\infty\left|E_k\right|=0 $$ Sin embargo, $$ \left\{x:\limsup_{n\to\infty}f_n(x)\ne0\right\}\subconjunto\bigcup_{k=1}^\infty E_k $$ Por lo tanto, para casi todos los $x$, $$ \lim_{n\to\infty}f_n(x)=0 $$

Answer 4

Voy a asumir

1. $f_n$'s $\mu$-integrable y en medir el espacio $(S, \Sigma, \mu)$.

2. Por $\int X$ media $\int_S X d\mu$

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Puesto que el $f_n$'s son no negativos porque son positivos, podemos cambiar suma y la integral (esto es debido a que de MCT):

$$\sum_{n=1}^{\infty}\int_S f_n d\mu = \int_S \sum_{n=1}^{\infty} f_n d\mu < \infty$$

Recuerdo una regla en la teoría de la probabilidad de que los estados $E[X] < \infty \to X < \infty \ \mu-\text{a.s.}$ (para ver por qué, tratar de probar que el contrapositivo). Supongo que esto viene de la teoría de la medida: $\int_S X d \mu < \infty \to X < \infty \ \mu-\text{a.e.}$

Por lo tanto, tenemos que $\sum_{n=1}^{\infty}f_{n} < \infty \ \mu-\text{a.e.}$.

Sabemos, desde básico de cálculo que $\sum_n a_n < \infty \to \lim a_n = 0$

$a_n$ es una secuencia de números, pero se aplica a una secuencia de funciones, algo sabemos de análisis real.

$\therefore, \lim f_n = 0 \ \mu-\text{a.e.}$.