Sé que para un Markov proceso generador $X_t$ $L$ y $f,f^2\in D(L)$, $$M_t=f(X_t)-\int_0^t Lf(X_s)\ ds$$ is a martingale (w.r.t. $P ^ x $). And I want to show that $$M_t^2-\int_0^t (Lf^2(X_s)-2f(X_s)Lf(X_s))\ ds$$ is a martingale. Using the first martingale, I know that $f ^ 2 (X_t)-\int_0^t Lf ^ 2 (X_s) \ ds $ and so this would reduce the problem to showing that $% $ $M_t^2 = f^2(X_t) + \int_0^t 2f(X_s)Lf(X_s)\ ds,$pero yo estoy teniendo problemas demostrando que. ¿Esta es la Avenida correcta de ataque o debo intentar algo más?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Desafortunadamente, no podemos esperar que la igualdad
$$M_t^2 = f^2(X_t) + \int_0^t 2f(X_s) L f(X_s) \, ds$$
sostiene, por lo que debemos utilizar un enfoque diferente.
Por la definición misma de $M_t$, tenemos
$$f^2(X_t) = \left( M_t+ \int_0^t Lf(X_r) \, dr \right)^2,$$
es decir,
$$M_t^2 = f^2(X_t) - 2 M_t \int_0^t Lf(X_r) \, dr - \left( \int_0^t Lf(X_r) \, dr \right)^2.$$
Obviamente, esto implica
$$M_t^2 - \int_0^t (Lf^2(X_r)-2f(X_r) Lf(X_r)) \, dr = \left[ f^2(X_t)- \int_0^t L f^2(X_r) \, dr \right] - N_t$$
donde
$$N_t := 2 M_t \int_0^t Lf(X_r) \, dr + \left( \int_0^t Lf(X_r) \, dr \right)^2 -2 \int_0^t f(X_r) Lf(X_r) \, dr.$$
Desde ya sabemos que $(f^2(X_t) - \int_0^t L f^2(X_r) \, dr)_t$ es una martingala, es suficiente para mostrar que $(N_t)_{t \geq 0}$ es una martingala. Este es un lugar sucio de cálculo. Primero de todo, desde $(M_t)_{t \geq 0}$ es una martingala que obtenemos de la torre de la propiedad que
$$\begin{align*}&\quad \mathbb{E}\left( M_t \int_0^t Lf(X_r) \, dr \mid \mathcal{F}_s \right) \\&= \mathbb{E}(M_t \mid \mathcal{F}_s) \int_0^s Lf(X_r) \, dr + \int_s^t \mathbb{E} \bigg[ \mathbb{E}(M_t Lf(X_r) \mid \mathcal{F}_r) \mid \mathcal{F}_s \bigg] \, dr \\ &= M_s \int_0^s Lf(X_r) \, dr + \mathbb{E} \left( \int_s^t M_r Lf(X_r) \, dr \mid \mathcal{F}_s \right). \end{align*}$$
El primer término en el lado derecho es más conveniente, pero hemos de volver a escribir la segunda. Se sigue de la definición de $M_t$ que
$$\begin{align*} &\quad \int_s^t M_r Lf(X_r) \, dr \\ &= \int_s^t f(X_r) Lf(X_r) \, dr - \int_s^t \int_0^r Lf(X_v) \, dv Lf(X_r) \, dr \\ &= \int_s^t f(X_r) Lf(X_r) \, dr - \int_s^t \int_0^s Lf(X_v) Lf(X_r) \, dv \, dr - \int_s^t \int_s^r Lu(X_v) Lf(X_r) \, dr \, dv \\ &= \int_s^t f(X_r) Lf(X_r) \, dr -\frac{1}{2} \left( \int_0^t Lf(X_r) \, dr \right)^2 + \frac{1}{2} \left( \int_0^s Lf(X_r) \, dr \right)^2 \end{align*}$$
para cualquier $r \leq s \leq t$. En el último paso hemos utilizado ese$$2 \int_s^t \int_s^r Lf(X_v) Lf(X_r) \, dv \, dr = \left( \int_s^t Lf(X_r) \, dr \right)^2 \tag{1}$$ implica $$\begin{align*} &\quad \int_s^t \int_0^s Lf(X_v) Lf(X_r) \, dv \, dr + \int_s^t \int_s^r Lf(X_v) Lf(X_r) \, dr \, dv \\ &\stackrel{(1)}{=} \int_s^t \int_0^s Lf(X_v) Lf(X_r) \, dv \, dr + \frac{1}{2} \left( \int_0^t Lf(X_r) \, dr - \int_0^s Lf(X_r) \, dr \right)^2 \\ &= \frac{1}{2} \left( \int_0^t Lf(X_r) \, dr \right)^2 + \frac{1}{2} \left( \int_0^s Lf(X_r) \, dr \right)^2 \end{align*}$$
La adición de todo, nos encontramos con que $(N_t)_{t \geq 0}$ es una martingala.
Nota: Si usted está interesado en obtener más general de los resultados, a continuación, echar un vistazo a los llamados carré-du-champ operador (o media operador de campo).
