Demostrando que $f(x)$ es menor o igual que $1+\pi/4$

Question

Supongamos que $f$ es una función diferenciable de valor real definida en $[1,\infty)$ con $f(1)=1$ . Supongamos también que $f$ satisface $$f'(x)=\frac{1}{x^2+f^2(x)}.$$ La cuestión es demostrar que $f(x) \leq 1+\pi/4$ por cada $x \geq 1$

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Intenté resolver la ecuación diferencial pero no pude traerla de alguna forma conocida. Examiné la derivada de $\tan^{-1}x$ que se parece a la de la pregunta. Sin embargo, no pude obtener ninguna idea con eso. Cualquier ayuda será muy apreciada. Gracias.

Answer 1

Desde $f'(x) > 0$ por cada $x\geq 1$ la función $f$ es (estrictamente) monótona creciente en $[1,+\infty)$ Por lo tanto $f(x) > 1$ por cada $x > 1$ . En consecuencia, $f'(x) = \frac{1}{x^2 + f^2(x)} \leq \frac{1}{x^2+1}$ por cada $x\geq 1$ . Además, $f$ es un $C^1$ por lo que para cada $x\geq 1$ $$ f(x) = f(1) + \int_1^x f'(t)\, dt \leq 1 + \int_1^x \frac{1}{1+t^2}\, dt = 1 + \arctan x - \frac{\pi}{4} < 1 + \frac{\pi}{4}. $$