¿Las derivadas parciales conmutan en los tensores? Por ejemplo, ¿es $$\partial_{\rho}\partial_{\sigma}h_{\mu\nu} - \partial_{\sigma}\partial_{\rho}h_{\mu\nu}=0$$ ¿correcto?
Respuesta
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Sí, es sólo la segunda derivada de alguna función, no importa que esta función esté organizada como componente de un tensor, $h_{\mu\nu}$ . La identidad anterior -suponiendo que la función es diferenciable y suave, etc. (añadiendo algunas condiciones de "amabilidad" sobre la función) - se deduce de las reglas del cálculo y se demuestra formalmente mediante la $\varepsilon$ - $\delta$ gimnasia.
Sin embargo, si se sustituyen las derivadas parciales por las covariantes $\nabla_\mu$ el lado derecho ya no sería cero sino proporcional a una contracción del tensor de Riemann y $h$ . El lado derecho se puede calcular escribiendo $\nabla_\mu$ en términos de $\partial_\mu$ y el término proporcional a $\Gamma_{\alpha\beta}^\gamma$ .
