Tres secuencias y un límite(propio)

Question

Consideremos tres secuencias $(a_n)_{n\ge1}$, $(b_n)_{n\ge1}$ y $(c_n)_{n\ge1}$ tiene las propiedades:

• $a_{n},\ b_{n},\ c_{n}\in\left(0,\ \infty\right)$
• $a_{n}+b_{n}+c_{n}\ge\frac{a_{n}}{b_{n}}+\frac{b_{n}}{c_{n}}+\frac{c_{n}}{a_{n}}\ \forall n\ge1$
• $\lim\limits_{n\to\infty}a_{n}b_{n}c_{n}=1 $

Demostrar que $$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}+b_{n}+c_{n}}{a_{n}b_{n}+b_{n}c_{n}+c_{n}a_{n}}=1 $$

Answer 1

Una prueba de que no es muy inteligente, pero hace el trabajo: vamos a $$f(a,b,c)=ab\left(a+b+c-\tfrac ab-\tfrac bc-\tfrac ca\right)$$ que se elige de modo que $f(a_n,b_n,c_n)\ge 0$.

La idea es:

1. Reducir a la $abc=1$ de los casos mediante la definición de $g(a,b)=f(a,b,\frac{1}{ab})$ y demostrando que $f(a_n,b_n,c_n)-g(a_n,b_n)\to 0$.
2. Demostrar que $g$ es valor no positivo y que $g(a_n,b_n)\to 0$ implica $(a_n,b_n)\to (1,1)$.
3. A la conclusión de que $(a_n,b_n,c_n)\to (1,1,1)$.

Prueba:

1. Dado que el problema es invariante bajo permutación cíclica de $a_n,b_n,c_n$ por $n$, podemos asumir que $c_n$ es el máximo. Tenemos $$c_n/a_n\le a_n+b_n+c_n\le 3c_n\\ 1/a_n\le 3$$ Esto implica $\limsup b_n c_n\le 3$, por lo que $$\limsup a_n^2 b_n^3\le \limsup c_n^2 b_n^{5/2} c_n^{1/2}\le 3^{5/2}$$ Así: $$a_n^2 b_n^3\left(\tfrac{1}{a_nb_nc_n}-1\right)+\tfrac{1}{a_n}(a_nb_nc_n-1)\to 0$$ y por lo tanto $$f(a_n,b_n,c_n)-g(a_n,b_n)\to 0$$

2. Un cálculo simple muestra que $g(a,b)$ es el polinomio cúbico $$-(ab)^3+(ab)^2+a^3b-a^3+a-1$$ with discriminant in $$ $$-(b-1)^2(b+1)(23b^3+5b^2-27b+23)$$ de modo que, en $D=[0,+\infty)^2$, $g(a,b)$ es siempre distinto de cero al $b\ne 1$, y al $b=1$ es distinto de cero sólo cuando $a=1$. Por lo tanto, debido a $g(a,b)$ es negativo en $(0,0)$ está en todas partes negativo, excepto en $(a,b)=(1,1)$.

   Además, el $\sup$ $g$ $D$ menos cualquier barrio de $(1,1)$ es negativa, porque a $D$ es cerrado y $g\le -1+\varepsilon$ en un barrio de $\infty$. Como consecuencia, si $g(a_n,b_n)\to 0$$(a_n,b_n)\to (1,1)$.

3. Debido a $f(a_n,b_n,c_n)\ge 0$ $g$ es valor no positivo, $g(a_n,b_n)\to 0$, por lo que el $(a_n,b_n)\to (1,1)$ y por tanto: $$\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty} b_n=\lim_{n\to\infty} c_n=1$$ que en realidad es una forma más fuerte del teorema.