Complejos SO(n) y degeneraciones

Question

Digamos que tienes una matriz $A\in\Bbb C^{n\times n}$ con $A^T A = 0$ como, por ejemplo, éste: $$ A = \begin{pmatrix} 1 & -i \\ i & 1 \end{pmatrix} $$ Pregunto lo siguiente:

Pregunta: ¿Existe una secuencia de matrices $(S_k)_{k\in\Bbb N}$ con $S_k^T\cdot S_k = I$ y $\lim\limits_{k\to\infty} S_k A = 0$ ?

Para la matriz anterior, puede elegir $\theta_k:=k\cdot(1-i)$ y $$ S_k = \begin{pmatrix} \cos(\theta_k) & -\sin(\theta_k) \\ \sin(\theta_k) & \cos(\theta_k) \end{pmatrix}. $$ Esto no es del todo obvio, pero es un cálculo sencillo. Lo digo porque un sistema de álgebra computacional lo hizo.

P.D.: Tengo razones algo complicadas para hacer esta pregunta, y exponerlas básicamente sólo daría lugar a muchos párrafos llenos de palabras de moda, y no creo que aclare más la pregunta. Sin embargo, creo que la respuesta es afirmativa.

Editar: He decidido añadir al menos algunas palabras de moda. Dejemos que $O_n=\{ S\in\mathbb C^{n\times n} \mid S^T S = I \}$ sea el grupo ortogonal. Es un grupo reductor que actúa sobre el espacio $W=\Bbb C^{n\times n}$ por la multiplicación de la izquierda. Pregunto si el Nullcone de esta acción es igual a $N=\{ A \mid A^T A = 0 \}$ . Tenga en cuenta que $N$ es cerrado y ciertamente contiene el Nullcone, porque si una secuencia $(S_k)$ con la propiedad anterior existe, entonces $A^TA=A^TS_k^TSA=(S_kA)^T(S_kA)\to 0$ como $k\to\infty$ , lo que significa que $A^TA=0$ .

Answer 1

La respuesta es afirmativa.

Debería haber hecho una investigación bibliográfica. De hecho, este es el Primer teorema fundamental para $\operatorname{O}_n$ y $\operatorname{SO}_n$ como se puede encontrar en el libro Teoría clásica de las invariantes - Un manual de Kraft & Procesi, página 117.

La prueba es bastante ingeniosa y no es demasiado difícil, pero permítanme describir cómo se obtiene mi versión a partir del enunciado del teorema en el libro:

Toma $p=n$ por lo que estamos buscando los invariantes en $(\Bbb C^n)^n = \Bbb C^{n\times n}$ . Se puede comprobar que la acción que describen es la multiplicación por la izquierda de matrices. Según el teorema, los invariantes de esta acción son los mapas \begin{align*} f_{ij}:\Bbb C^{n\times n} &\longrightarrow \Bbb C \\ A=(A_{k,\ell}) & \longmapsto \sum_{k=1}^n A_{ki} A_{kj} \end{align*} es decir, se toma el producto interior del $i$ -y $j$ -en la columna de $A$ . Ahora, $A$ está en el Nullcone si y sólo si $f_{ij}(A)=0$ para todos $1\le i\le j\le n$ y esto significa precisamente $A^TA=0$ .