Integrales con fracciones de los exponentes

Question

Me encontré con esta integral en un trabajo de investigación, mientras que tratando de entender Bernstein desigualdades. Quiero límite superior o evaluar esta integral, pero parece muy complicado. La integral es: \begin{align} I=\int_0^\infty \exp \left ( \frac{-at^2}{bt+c} \right ) dt, \quad a,b,c >0. \end{align} ¿Hay algún procedimiento para obtener un límite superior de la integral anterior? Mi intención es simplificar la fracción, así que me gustaría conseguir $$ I= \int_0^\infty \exp \left ( \frac{-a}{b} + \frac{ac}{b} - \frac{ac^2}{b^3}\left(\frac{1}{t+c/b} \right) \right) dt. $$ Pero esto no parece demasiado útil. Alguna sugerencia?

Answer 1

No sé cómo estricto un límite necesita, pero no $x>b$, % $ $$xt \ge bt+c\qquad\text{for}\qquad t\ge\frac{c}{x-b}\ .$$k:=\tfrac{c}{x-b}$de la escritura. Sigue que $$\frac{-at^2}{bt+c}\le-\frac{a}{x}t\qquad\text{for}\qquad t\ge k$ $ para que nosotros podamos obligados\begin{align} \int_0^\infty\exp\left(\frac{-at^2}{bt+c}\right)dt\le&\ k+\int_k^\infty\exp\left(-\frac{a}{x}t\right)dt\\ =&\ \frac{c}{x-b}+\frac{a}{x}\exp\left(-\frac{a}{x}\frac{c}{x-b}\right)\ , \end align {} donde en la primera línea limita la función $1$ $t\in[0,k]$. Llamemos a $$F(x) := \frac{c}{x-b}+\frac{a}{x}\exp\left(-\frac{a}{x}\frac{c}{x-b}\right)\ .$ $ ahora si usted quiere optimizar el límite Obtenido de esta manera usted tiene que encontrar el mínimo de $F(x)$ $x>b$, que a mi me parece como un problema difícil (y probablemente incluirá la función de Lambert $W$).

Answer 2

$\int_0^\infty e^\frac{-at^2}{bt+c}~dt$

$=\int_c^\infty e^\frac{-a\left(\frac{t-c}{b}\right)^2}{t}~d\left(\dfrac{t-c}{b}\right)$

$=\dfrac{e^\frac{2ac}{b^2}}{b}\int_c^\infty e^{-\frac{at}{b^2}-\frac{ac^2}{b^2t}}~dt$

$=\dfrac{e^\frac{2ac}{b^2}}{b}\int_1^\infty e^{-\frac{act}{b^2}-\frac{ac^2}{b^2ct}}~d(ct)$

$=\dfrac{ce^\frac{2ac}{b^2}}{b}\int_1^\infty e^{-\frac{act}{b^2}-\frac{ac}{b^2t}}~dt$

$=\dfrac{ce^\frac{2ac}{b^2}}{b}\int_1^\infty e^{-\frac{ac}{b^2}\left(t+\frac{1}{t}\right)}~dt$

Considerar $\int_0^\infty e^{-\frac{ac}{b^2}\left(t+\frac{1}{t}\right)}~dt$,

$\int_0^\infty e^{-\frac{ac}{b^2}\left(t+\frac{1}{t}\right)}~dt$

$=\int_0^1e^{-\frac{ac}{b^2}\left(t+\frac{1}{t}\right)}~dt+\int_1^\infty e^{-\frac{ac}{b^2}\left(t+\frac{1}{t}\right)}~dt$

$=\int_\infty^1e^{-\frac{ac}{b^2}\left(\frac{1}{t}+t\right)}~d\left(\dfrac{1}{t}\right)+\int_1^\infty e^{-\frac{ac}{b^2}\left(t+\frac{1}{t}\right)}~dt$

$=\int_1^\infty\dfrac{1}{t^2}e^{-\frac{ac}{b^2}\left(t+\frac{1}{t}\right)}~dt+\int_1^\infty e^{-\frac{ac}{b^2}\left(t+\frac{1}{t}\right)}~dt$

$=\int_1^\infty\left(1+\dfrac{1}{t^2}\right)e^{-\frac{ac}{b^2}\left(t+\frac{1}{t}\right)}~dt$

$=2\int_1^\infty e^{-\frac{ac}{b^2}\left(t+\frac{1}{t}\right)}~dt-\int_1^\infty\left(1-\dfrac{1}{t^2}\right)e^{-\frac{ac}{b^2}\left(t+\frac{1}{t}\right)}~dt$

$\therefore\dfrac{ce^\frac{2ac}{b^2}}{b}\int_1^\infty e^{-\frac{ac}{b^2}\left(t+\frac{1}{t}\right)}~dt$

$=\dfrac{ce^\frac{2ac}{b^2}}{2b}\int_0^\infty e^{-\frac{ac}{b^2}\left(t+\frac{1}{t}\right)}~dt+\dfrac{ce^\frac{2ac}{b^2}}{2b}\int_1^\infty\left(1-\dfrac{1}{t^2}\right)e^{-\frac{ac}{b^2}\left(t+\frac{1}{t}\right)}~dt$

$=\dfrac{ce^\frac{2ac}{b^2}}{2b}K_1\left(\dfrac{2ac}{b^2}\right)+\dfrac{ce^\frac{2ac}{b^2}}{2b}\int_1^\infty e^{-\frac{ac}{b^2}\left(t+\frac{1}{t}\right)}~d\left(t+\dfrac{1}{t}\right)$

$=\dfrac{ce^\frac{2ac}{b^2}}{2b}K_1\left(\dfrac{2ac}{b^2}\right)-\dfrac{ce^\frac{2ac}{b^2}}{2b}\left[\dfrac{b^2}{ac}e^{-\frac{ac}{b^2}\left(t+\frac{1}{t}\right)}\right]_1^\infty$

$=\dfrac{ce^\frac{2ac}{b^2}}{2b}K_1\left(\dfrac{2ac}{b^2}\right)+\dfrac{b}{2a}$