¿Cuáles son los vectores propios del operador rizo?

Question

El curl operador $\vec\nabla\times\mathbb{1}$ puede ser escrito como un sesgo de simetría matriz de 3x3

$$\mathrm{curl} = \begin{pmatrix}0 & -\partial_z & \partial_y \\ \partial_z & 0 & -\partial_x \\ -\partial_y & \partial_x & 0\end{pmatrix}$$

(en coordenadas Cartesianas). Desde $\mathrm{curl}\,\mathrm{grad}=0$$\mathrm{div}\,\mathrm{curl}=0$, el Autovector al Autovalor 0 $\vec\nabla$¹. Y mediante el cálculo de $\det(\mathrm{curl}-\lambda)\stackrel!=0=-\lambda(\lambda^2+\Delta)$ se obtiene que los otros dos Autovalores (con signo contrario), tanto satisfacer $\lambda_\pm^2=-\Delta$, es decir, son las dos raíces de la negativa de Laplace.

Desde $\mathrm{curl}^2=\mathrm{grad}\,\mathrm{div}-\Delta$, los vectores propios $\vec f_\pm$, la satisfacción de $\mathrm{curl}^2\vec f_\pm = -\Delta\vec f_\pm$, tienen una constante de la divergencia. Más precisamente, ya que deben ser ortogonales $\vec\nabla$ debido a los diferentes Valores propios, que puede ser escrito como $\vec f_\pm = \vec g_\pm\times\vec\nabla$. Puesto que el $\vec f_\pm$ también son ortogonales entre sí, uno puede obtener

$$\vec f_\pm = \pm\lambda_\pm^{-1}\,\vec f_\mp\times\vec\nabla$$

donde el factor de $\pm\lambda_\pm^ {-1}$ fue elegido por la simetría y consistencia. Pero, ¿qué es un analíticos (no recursiva) la expresión para ellos?

Puede que usted ya haya observado que el $\lambda_\pm$ son de Dirac operadores, así que no se sorprenda si una respuesta se incluye spinors y $\partial\!\!/$, incluso a pesar de que es en 4D... De hecho, lo más probable es que este es el caso, ya que aparte de $\vec\nabla$, el vector de $\gamma$ (o Pauli) de matrices de no establecer cualquier dirección preferida.

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¹ En el sentido de que para cualquier función escalar $s(\vec x)$, $\vec\nabla s$ es un Autovector de a $\mathrm{curl}$ con Autovalor 0, es decir,$\forall s:\mathrm{curl}\vec\nabla s = 0\cdot\vec\nabla s$. Es como diciendo $[x_i,\partial_j] = \delta_{ij}$, mientras que esto sólo tiene sentido cuando actúa en algo.

Answer 1

Ser $f(x,y,z)=\mathrm e^{\alpha x+\beta y+\gamma z}$ y $v$ un vector propio de $\begin{pmatrix} 0 & -\gamma & \beta\\ \gamma & 0 & -\alpha\\ -\beta & \alpha & 0\end{pmatrix}$. Entonces $f(x,y,z)v$ es un vector propio de $\rm curl$.

Prueba: $\partial_x f(x,y,z) = \alpha f(x,y,z)$, $\partial y f(x,y,z) = \beta f(x,y,z)$, $\partial z f(x,y,z) = \gamma f(x,y,z)$. Por lo tanto, la "matriz de enrollamiento" actúa en $f(x,y,z)v$ como si todos los derivados parciales fueron reemplazados por el factor correspondiente, que da a la matriz anterior. Así, llegamos a una ecuación del vector propio ordinario y $v$ (y por lo tanto cada múltiplo de $v$) es un vector propio por supuesto.

No estoy seguro si ésos son los vectores propios, aunque.