Geodésicas de una métrica "diagonal"

Question

Hay relaciones que existen para simplificar los símbolos de Christoffel de conexión de los coeficientes de la diagonal métrica que tiene la misma función de las coordenadas de cada entrada? En otras palabras, tengo una métrica

$g = f(x_1,x_2,\cdots) \; \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots \\ 0 & 1 & & \\ \vdots & & \ddots \end{pmatrix}$

Y quiero calcular geodesics. Creo que van a ser líneas rectas, es decir, se tomará la misma forma como lo haría si el espacio Euclidiano, pero van a ser recorrido con algunos variación de la velocidad. (Que originalmente fue mi motivación para buscar en esta métrica, como tengo unas curvas que son 'recto', pero no viajó a una velocidad uniforme, y así se me presentó esta métrica con la esperanza de convertirse en geodesics).

La ecuación geodésica es \begin{equation} \frac{d^2x^{\lambda}}{ds^2} + \Gamma^{\lambda}_{\mu \nu} \frac{dx^{\mu}}{ds}\frac{dx^{\nu}}{ds}=0 \end{equation}

Tengo la esperanza de que el segundo término será un factor en una constante en el vector de $y^{\lambda}$ multiplicado por una función escalar de las coordenadas $Y(x_1,x_2,\cdots)$. Pero no es obvio para mí si esto sucede.

En una nota relacionada, alguien ha mirado alguna vez a la ampliación de esta maquinaria para espacios de dimensión infinita?

Answer 1

Como @Thomas correctamente señaló la pregunta es acerca de geodesics en conformemente plana de los colectores.

Un "simple" es un ejemplo de un conformemente plano del colector es la esfera $\mathbb{S}^n$ con la métrica inducida a partir de su nivel de inmersión en $\mathbb{R}^{n+1}$, la conformación de la equivalencia de las métricas es proporcionada por la proyección estereográfica. El geodesics en la esfera son grandes círculos, como se conoce.

De hecho, todo el "espacio de las formas", es decir, los colectores de la constante de la sección transversal de la curvatura, son conformemente plana.

Más avanzadas de tratamiento que uno puede encontrar en un artículo reciente de Pablo Tod "Algunos ejemplos del comportamiento de conformación geodesics" aquí.

Conformación geodesics también son conocidos bajo el nombre de conformación de los círculos. Michael Eastwood recientemente nos mostró un cálculo que explica algunos de los detalles que uno tiene al leer el papel Bailey T. N., Eastwood M. G. de Conformación de los círculos y el proceso de parametrización de curvas en la conformación de colectores.

Con respecto a las dimensiones infinitas caso, le puedo sugerir a echar un vistazo a este cartel , donde, en particular, uno puede encontrar una referencia a la fuente estándar: Kriegl A., Michor P. W. El Cómodo Ajuste de Análisis Global.

Answer 2

Las respuestas anteriores son buenas, pero permítanme explicar brevemente por qué usted no debe esperar geodesics a ser líneas rectas en el primer lugar.

La conformación del factor de $f$ puede ser interpretado como una óptica de índice; por ejemplo, si pones $f$ $1$ en la mitad de espacio y $2$ en su complemento, geodesics a través de la separación de hyperplane se corresponden con el viaje de la luz a través de una interfaz entre dos materiales de diferentes índices. A continuación, puede ver la refracción (que, por ejemplo, explica por qué una pajita en un vaso de agua se ve roto). Hay una conocida fórmula con los senos relacionados con los ángulos de la línea geodésica antes y después de la interfaz, y usted probablemente sabe que algunos otros ejemplos de este fenómeno.

Por supuesto, el ejemplo anterior no es fácil, pero el mismo tipo de cosas suceden con suaves $f$ (se continua la refracción de un material con diferentes optial índice). Una manera de ver esto fácilmente se considere el caso donde $f$ es igual a $1$ excepto cerca de un dado no recta de la curva de $\gamma$, e $f$ es muy pequeña en $\gamma$. A continuación, la longitud (de acuerdo a$g$) $\gamma$ puede ser mucho menor que la longitud de la línea entre sus extremos, que por lo tanto no puede ser un (minimización) geodésica.