Tarea: límite de $\frac{1}{n}\sqrt[n]{\prod_{k=1}^n(n+k)}$ $n\to\infty$

Question

Determinar el siguiente límite
$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sqrt[n]{(n+1)(n+2)\ldots (n+n)} $$ Idea #1 la raíz enésima podría escribirse como $$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sqrt[n]{\frac{(n+n)!}{n!}} $$ Darse cuenta de que $n^{-1}$ es un infinitesimal, si el n-ésimo de la raíz fueron delimitadas, el límite sería $0$.

Pero con la esperanza de que $\sqrt[n]{\frac{(n+n)!}{n!}}$ está delimitada es un sueño, esto claramente tiende a $\infty$.

Idea #2 $$\lim_{n\to\infty}\ln\left (\frac{1}{n}[(n+1)\ldots (n+n)]^\frac{1}{n}\right ) = \lim_{n\to\infty}\left [-\ln n+\frac{1}{n}\left (\ln (n+1)+\ln (n+2)+\ldots +\ln (n+n) \right )\right ]$$ pero tratando de llevar a un común denominador tampoco ayuda, lo que me gustaría tener es $$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n} \left [-n\ln n+\ln (n+1)+\ldots +\ln 2+\ln n\right ]$$ Lo que no me acercaron a la simplificación.
La solución de este debe algo totalmente diferente. Me gustaria una sugerencia/me apunte en la dirección que debo ir.

Answer 1

Busca $$ \lim_{n\to +\infty}\sqrt[n]{\frac{(2n)!}{n!\cdot n^n}}. $ $ % ajuste $a_n=\frac{(2n)!}{n!\cdot n^n}$tenemos: $$ \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(2n+2)(2n+1)n^n}{(n+1)(n+1)^{n+1}}=\frac{4n+2}{n+1}\cdot\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}$ $ por lo tanto: $$ \lim_{n\to +\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{4}{e} $ $ y que implica: $$ \lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{\frac{(2n)!}{n!\cdot n^n}}=\color{red}{\frac{4}{e}}.$ $

Answer 2

De la idea 1, podemos derivar el resultado con n de $ aproximación de Stirling! \sim\sqrt {2\pi n} \left (\frac {n} {e} \right) ^ {n} $$ hence $ $\frac{1}{n}\sqrt[n]{\frac{\left(2n\right)!} {n!}} \sim\frac{1}{n}\sqrt[n]{\frac{\sqrt{2N}}{\sqrt{n}}\left (\frac {2n} {e} \right) ^ {2n} \left (\frac {e} {n} \right) ^ {n}} = \frac {2 ^ {2 +1/2n}} {e} \rightarrow\frac {4} {e}. $$

Answer 3

Comience con la expresión a la derecha de su Idea #2. Utilizando $\ln (n+k)=\ln n + \ln (1+k/n)$ cada $k$ muestra que la expresión equivale a

$$ \ln n + \frac {1} {n} \sum_ {k = 1} ^ {n} [\ln n + \ln (1 + k/n)] $$ $$= -\ln n+\frac{1}{n}[n\ln n + \sum_{k=1}^{n}\ln (1+k/n )]= \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\ln (1+k/n )$$ $% $ $ \to \int_0^1 \ln (1+x)\, dx = 2\ln2 -1 = \ln (4/e).$

Exponentiating da vuelta $4/e$ para el límite.