Grupo de Galois sobre $\mathbb C(t)$

Question

Que $K=\mathbb C(T)$ ser el campo de la función racional sobre el campo complejo $\mathbb C$, y $L$ ser el campo División de $f(X)=X^6+2TX^3+1\in K[X]$.

(1) encontrar $\mathrm{Gal}(L/K)$.

(2) encontrar todas las extensiones de campo de grado 3 con $L/K$.

Encontrar $L = K(\alpha)\ (\alpha =\sqrt[3]{T-\sqrt{T^2-1}} )$ y $Gal(L/K) \cong S_3$ (es correcto?), pero no puedo solucionar (2). ¿Cómo resolver (2)?

Answer 1

Escribir $E= K(y, z)$ donde $y$ $z$ son las raíces de $$X^2 + 2T X + 1.$$ A continuación, $E$ es una ecuación cuadrática de la extensión de $K$, y, como implícitamente señalan en los comentarios, $yz = 1$.

Entonces, como usted (explícitamente!) el punto de salida, la división de campo de $L/K$ de la pregunta es la división de campo de más de $E$ tanto $X^3 -y=0$$X^3-z=0$: si $u^3=y$$uv =1$, luego $v^3= z$: $L=K(u,v)=K(u)=K(v)$.

Si $\omega$ es una primitiva de la tercera raíz de la unidad, las raíces de $f$ (de la cuestión)

$$u,\ \omega u,\ \omega^2 u,\ v, \omega v,\text { and }\omega^2 v.$$

El grupo de Galois $G$ $L/K$ es (isomorfo a) $S_3$, y los generados por $\sigma$ (de tres) y $\tau$ (de orden 2): $$\sigma u =\omega u \text { and } \tau u = v.$$ Los elementos $\sigma$ $\tau$ campo de automorfismos $K$, y, como $L=K(u)$, están determinadas por su acción en $u$: por ejemplo, $$\tau v = u,\text{ and }\sigma v = \omega^2 v.$$

El cálculo, también se encuentra $$\sigma \tau \sigma^{-1} u = \omega v \text { and } \sigma \tau \sigma^{-1} u = \omega^2 v.$$

Por la correspondencia de Galois [el entramado de los sub-grupos de $G$ y el entramado de los sub-campos de la $L/K$ (anti-)isomorfo, en $H\mapsto L^H$, el campo fijo de $H$], los tres cúbicos subcampos de $L$ corresponden a los campos fijos, respectivamente, por (los tres sub-grupos, cada uno generado por) $\tau$, $\sigma \tau \sigma^{-1}$, y $\sigma^2\tau\sigma^{-2}$. (En la anterior, $\sigma$ $\tau$ no conmuta - por lo tanto, los tres sub-campos).

Explícitamente, si $a = u + v \in L$,$\tau a = a$. Calcular, uno encuentra que si $$b = \sigma a = \omega ( u + \omega v) \text { and }c =\sigma^2 a =\omega^2(u + \omega^2 v),$$

entonces $$( X - a) (X-b)(X-c) = X^3 -3X +2T,$$ y los tres cúbicos sub-extensiones $K(a)$, $K(b)$, y $K(c)$.