Supuse que las coordenadas de P = (h, 2) para obtener el valor de DP + PM = $\sqrt { (h-2)^2 +4}+\sqrt{h^2+1}$. Luego diferenciado la ecuación wrt a h para obtener: $h(\sqrt{h^2+1}) -2\sqrt{h^2+1}+ h\sqrt{h^2+8-4h}$. Comparando esta expresión con 0, será probablemente consigo la respuesta.
¿Hay cualquier otro ~ método más corto para resolver esto?
Aquí es una solución fácil, que no use el cálculo.
Considerar el punto de $E(4,2)$, el cual es la imagen de espejo de punto de $D$ en la línea de $\overline{BC}$. Cualquier camino de $M$ $P$ % # % tiene la misma longitud que un camino de$D$$M$%#%. Pero, obviamente, el camino más corto de $P$ $E$es un segmento de línea recta.
Así que elige $M$ sobre el segmento de línea $E$. Esto hace que $P$, y el menor valor de $\overline{ME}$$P(2,2/3)$.
(Yo estaba a punto de agregar un gráfico a esta respuesta, pero veo que Jack D'Aurizio ha dado un poco diferente pero equivalente respuesta con un gráfico, así que me abstendré.)
El conjunto de todos los puntos de $P$ en el avión con el mismo $DP+PM$ es una elipse con $D$ $M$ como de sus focos. El más alto es su excentricidad (es decir, el más plano y menos de círculo como la elipse es), la más pequeña que la suma es. Pero si lo haces demasiado pequeño, la elipse ya no cruzan la línea de $BC$. Así que a la mínima que es la situación donde la elipse simplemente toques $BC$, es decir, ha $BC$ como tangente.
Cualquier rayo de luz emitido desde uno de los focos de la elipse se refleja en la elipse de tal manera que termina en el otro foco. La reflexión de la elipse es equivalente a la reflexión en la tangente en el punto donde el rayo golpea la elipse. Por lo que la línea de $DP$ pasa a través de $M'$, el reflejo de $M$$BC$. Asimismo, el rayo $MP$ pasa a través de $D'$, el reflejo de $D$$BC$. Así, mediante la construcción de $M'$ o $D'$ usted puede encontrar fácilmente $P$.
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