Hay una razón por la que la mayoría de los planes de estudio de pregrado poner álgebra lineal antes de álgebra abstracta?
Yo estoy pidiendo esto porque personalmente parece ser mucho más fácil de entender la arquitectura detrás de álgebra lineal como se supone a simplemente a resolver los problemas después de un curso de álgebra abstracta.
Tengo para ofrecer un contrapunto a la vez cínico respuestas ya presente. Para ser justos, casi todo el mundo parece haber interpretado la pregunta para decir "¿cuál es la justificación para el sistema actual de poner álgebra lineal primera", mientras que me gustaría tener la perspectiva de que no es una buena pedagógico y matemática justificación para hacerlo de esta manera, independientemente de los precedentes históricos o las necesidades de las clases de servicio.
La peor manera de enseñar matemática es históricamente correcto orden: la historia está llena de épica intelectual luchas para encontrar la correcta generalización de en el contexto de una existente (posiblemente bastante desconocido para nosotros) la perspectiva de la matemática, parcial anterior generalizaciones y mal entendido (posiblemente incorrecta!) las fundaciones. Yo tenía un profesor una vez que dijo que había tomado un álgebra abstracta de la clase que procedió de Lagrange del trabajo sobre la solvencia de los polinomios, y que la mayoría de los sacó de ella es que es muy difícil pensar como Lagrange.
La segunda peor manera es lógicamente-en el orden correcto. Eso no quiere decir que no hay lugar para un riguroso desarrollo de las matemáticas; obviamente, que es necesario en algún punto de la presentación de cualquiera de sus campos. Pero usted no puede simplemente sentarse la gente, ni siquiera interesados y personas inteligentes, y decir "ahora vamos a aprender el desarrollo axiomático de la matemática". Ellos no tienen ninguna razón personal para comprar en esta narrativa y probablemente se convierta en aburrido y confuso.
Y, sin embargo, las matemáticas se desarrolló en un orden determinado históricamente, y más tarde, se formalizaron en un orden determinado, lógicamente, así que hay algo para estas elecciones. Para enseñar a un novato que efectivamente se tiene que crear una falsa historia para ellos y, a continuación, desarrollar el material internamente consistente dentro de la historia. A veces esto implica mentir si eso significa conseguir a través de un útil de la pieza de la intuición; o por omisión, si eso significa que la simplificación de algunos profundamente preparativos técnicos; o de la repetición, si eso significa que la primera ronda de las lecciones más sentido en el contexto de lo que vino antes que la segunda, ronda completa. Aquí me recuerdan una frase, posiblemente debido a Littlewood, que en la explicación de las matemáticas, una sola, la trivialidad se omite es trivial hueco para rellenar, pero dos cosas sin valor en una fila puede ser profundo. Si para ir de clase 1 a clase 3 requiere que los estudiantes teniendo en cuenta todo el castillo de naipes de las conexiones antes de llegar a la rentabilidad, a continuación, debe haber una rentabilidad en el interior de la casa en la que se da en la lección 2.
Álgebra lineal tiene esta relación exacta entre el álgebra abstracta. Comienza con algo que cualquiera con un poco de experiencia en el uso de las matemáticas está familiarizado con: resolución de ecuaciones. Se prosigue a través de algo que, aunque aparentemente complicada, también es familiar: la definición de la notación y de alguna extraña operaciones (matrices y operaciones de fila, multiplicación, etc). Esto es, después de todo, parte de la solución de ecuaciones. Por último, se puede llevar a la realidad los conceptos abstractos tales como espacios vectoriales (= libre módulos), resumen espacios lineales (= módulos), de cambio de base (= conjugación, sin duda algo que hay que aprender antes de tomar el grupo de teoría!), y el primer teorema de isomorfismo (el "rango-nulidad teorema"). Problemas de álgebra lineal puede escribirse primero de sonido semi-física o geométrica, y, a continuación, hacer referencia a los conceptos que se enseñan en este tipo de problemas, y, a continuación, para ser totalmente abstracto. Al final de un curso de álgebra lineal, los estudiantes deben tener al menos algunos de la fundación para el pensamiento abstracto, así como una lista grande de las conocidas referencias que se repetirán en el álgebra abstracta.
Así que mi respuesta a su pregunta es, necesariamente, "¿por qué no enseñar álgebra lineal antes de álgebra abstracta?" Creo que es lamentable que más de álgebra libros de no utilizarlo como motivación.
Hay varios aspectos que contribuyen a la decisión de invertir mucho tiempo en álgebra lineal antes de la introducción de álgebra abstracta.
En primer lugar, está el aspecto histórico. Álgebra lineal vino primero, y de los grupos, anillos y el resto de la banda de vino (considerablemente) más tarde. Los planes de estudios universitarios cambiar más lentamente y todavía vemos las sobras de los siglos pasados acontecimientos históricos.
También hay una cuestión de practicidad. Álgebra lineal servicios de numerosos campos y mientras álgebra abstracta es sin duda de gran importancia, se puede argumentar (con éxito) que de álgebra lineal equipa a uno con un montón de inmediato herramientas para su uso en muchas áreas.
Luego está el miedo en general a lo abstracto. Ya que a muchos estudiantes a encontrar abstracto material a ser muy difícil (por lo motivos psicológicos), las universidades tienden a atender a las 'necesidades' de los estudiantes mediante la posposición de la más conceptos abstractos, sino hasta más tarde. Yo sé que a mi personalmente me hubiera gustado haber aprendido espacios vectoriales como un caso especial de los módulos, y deducir mucho de la teoría de espacios lineales desde el más general de los teoremas de módulo de teoría, pero parece no ser una ruta de acceso preferida por la mayoría de los estudiantes desde el álgebra lineal es susceptible de visualizaciones geométricas, mientras que el módulo general de la teoría no lo es.
Lo que me confunde es la misma premisa. En mi escuela, me tomó de álgebra lineal y álgebra abstracta en el mismo semestre, y yo no estaba bordeando los requisitos previos. Por supuesto, no es lo que "la mayoría de los estudiantes hacen", pero decir que no es realmente un plan de estudios en el nivel de licenciatura estaría equivocado en muchos lugares.
Aparte de eso, una gran razón es que el álgebra lineal es enseñado no sólo de matemáticas de grandes ligas, por lo que el curso es más fácil aunque se considera el nivel más alto de cálculo. Por lo tanto, es visto como una progresión natural en la madurez necesaria (pruebas para ser entendido y escrito, abstracción, etc.) Además, álgebra lineal puede ser utilizado para estos otros grandes ligas si un estudiante de matemáticas decide dejar de fumar. Ninguna de estas respuestas parecen tan convincentes a la motivación de pregrado matemático, pero el curso normal de las cosas no está diseñado (donde está diseñada) para él/ella.
Creo que parte de la consideración de que el concepto fundamental de la linealidad y lineal de operadores, que son bloques de construcción básicos de la teoría de ecuaciones diferenciales, es tratado escribir mucho en álgebra lineal.
Si nos fijamos en álgebra lineal agregar una clase de ingeniería, se añade una gran cantidad de muy valiosa intuición de fuego, la gente que va a la educación a distancia y de la PDE mundos, donde el grupo formal la teoría no siempre es de uso inmediato, pero álgebra lineal es fundamental.
Además, si uno se enseña álgebra lineal como una especie de precursor de Hilbert espacios, con suficiente abstracción, se convierte en la tuerca sólo una intuición generador, sino una herramienta fundamental en temas como el análisis de Fourier.
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