Pregunta de integrabilidad

Question

Una pregunta que ha aparecido mientras estudiaba para la calificación de los exámenes es el siguiente:

Demostrar que $\int_0^1 \int_0^1 \frac{1}{x^p + y^q} dx dy$ es integrable iff $p^{-1} + q^{-1} > 1$

Puedo manejar algunos casos especiales (por ejemplo $p=q=1$) por cambio de variables, pero el caso general parece ser bastante desordenado. ¿Alguna idea?

Answer 1

Para cualquiera de los números positivos $a$$b$, tenga en cuenta que $\max\{a,b\} < a+b < 2\max\{a,b\}$; así $$ \int_0^1 \int_0^1 \frac1{2\max\{x^p,y^q\}} \,dx \,dy < \int_0^1 \int_0^1 \frac1{x^p+y^p} \,dx \,dy < \int_0^1 \int_0^1 \frac1{\max\{x^p,y^q\}} \,dx \,dy. $$ Por lo tanto, su integral converge si y sólo si la integral de la $\int_0^1 \int_0^1 \frac1{\max\{x^p,y^q\}} \,dx \,dy$ converge. Esta integral es $$ \int_0^1 \int_0^1 \frac1{\max\{x^p,y^q\}} \,dx \,dy = \int_0^1 \int_0^{x^{p/q}} \frac1{x^p} \,dy \,dx + \int_0^1 \int_0^{y^{p/p}} \frac1{y^p} \,dx \,dy; $$ puesto que el integrando es positivo, el lado izquierdo converge si y sólo si ambas integrales en el lado derecho convergen. Pero pueden ser evaluados de forma explícita: \begin{align*} \int_0^1 \int_0^{x^{p/q}} \frac1{x^p} \,dy \,dx = \int_0^1 x^{p/q}\frac1{x^p} \,dx &= \lim_{t\to0+} \frac{x^{p/q-p+1}}{p/q-p+1}\bigg|_t^1 \\ &= \frac1{p/q-p+1} \big( 1 - \lim_{t\to0+} (t^p)^{1/q-1+1/p} \big); \\ \int_0^1 \int_0^{y^{q/p}} \frac1{y^q} \,dx \,dy = \int_0^1 y^{q/p}\frac1{y^q} \,dy &= \lim_{t\to0+} \frac{y^{q/p-q+1}}{q/p-q+1}\bigg|_t^1 \\ &= \frac1{q/p-q+1} \big( 1 - \lim_{t\to0+} (t^q)^{1/p-1+1/q} \big). \end{align*} Los dos límites convergen al $1/p+1/q-1>0$ y divergen al $1/p+1/q-1<0$, como se desee. (El cálculo de las necesidades para ser modificados cuando las $1/p+1/q-1=0$; el resultado es el deseado divergencia en ese caso).