Demostrar que la ecuación de $12x^2-y^2 = 1$ no tiene soluciones del número entero

Question

Demostrar que la ecuación de $12x^2-y^2 = 1$ no tiene soluciones del número entero.

Pensaba tomar esta modulo un número para encontrar una contradicción, pero no podía conseguir cualquier cosa. ¿Qué debo hacer?

Answer 1

Trabajo modulo $3$. El % de congruencia $y^2\equiv -1\pmod{3}$no tiene una solución.

Pero tienes una opción, usted también puede trabajar modulo $4$. Para cualquier plaza es congruente a $0$ o $1$ modulo $4$.

Answer 2

Overkill grande: de la teoría de las ecuaciones de Pell se sabe que para cualquier entero $D>0$ que no es un cuadrado, la ecuación $$ x^2-D y^2 = -1 $ $ tiene una solución (por lo tanto, infinitas soluciones) o no, dependiendo de la longitud del período de la fracción continua de $\sqrt{D}$. Desde $$ \sqrt{12}=[3;\overline{2,6}] $ $ la ecuación original $12x^2-y^2=1$ no tiene soluciones del número entero.
De todos modos, eso es trivial $\!\!\pmod{3}$ o $\!\!\pmod{4}$.

Answer 3

Voy a tratar de explicar la idea de André responder de una manera simple.

Tenga en cuenta que si dividimos un entero por $3$ sólo hay $3$ posibilidades:

1. Tenemos un resto de $0$
2. Obtenemos un "resto" de $1$ o $-2$
3. Obtenemos un "resto" de $2$ o $-1$

Por lo tanto, cualquier número entero puede ser representado de la siguiente forma:

$$3k+0$$

$$3k+1$$

$$3k+2$$

Donde $k$ es un número entero

Como una nota del lado, el uso de este, si queremos calcular:

$n^2$

Mediante el establecimiento $n=3k+0,3k+1,3k+2$ es de notar que cualquier cuadrado perfecto sólo puede tener resto $0$ o $1$ cuando se divide por $3$.

Ahora, volviendo a la ecuación usted está interesado en:

$$12x^2-y^2=1$$

Set $x=3k+z$ $y=3u+z$ donde $z$ es $0$, $1$ o $2$ $k$ es cualquier entero:

$$12(9k^2+6kz+z^2)-(9u^2+6uz+z^2)=1$$

Esto es equivalente:

$$12(9k^2+6kz+z^2)-(9u^2+6uz)-z^2=1$$

O:

$$12(9k^2+6kz+z^2)-(9u^2+6uz)=1+z^2$$

El lado derecho sólo debe tener resto $1$ o $2$ cuando se divide por $3$ (esto es válido para todos los números enteros $z$ de nuestro cálculo de $n^2$ pero por simplicidad sólo en nuestra original $z=0,1,2$).

El lado izquierdo en el otro lado es divisible por $3$ y por lo tanto debe tener resto $0$ cuando se divide por $3$.

Por lo tanto llegamos a la conclusión de que no es posible ser igual para los números enteros $x$ $y$ porque les dan a los diferentes restos cuando se divide por $3$.