inclusiones de $L^p$-espacio

Question

Deje $1\leq p<q<\infty$. Cuál de las siguientes inclusiones son verdaderas?

1. $L^p(0,1)\subset L^q(0,1)$
2. $L^q(0,1)\subset L^p(0,1)$
3. $L^p(0,\infty)\subset L^q(0,\infty)$
4. $L^q(0,\infty)\subset L^q(0,\infty)$

Ya sé que 1. es falso (considere el $f(x)=1/\sqrt{x}$ con $p=1$, $q=2$) y 2. sostiene, la cual puede ser mostrado usando el Hölder-la desigualdad.

Ahora no estoy seguro acerca de 3. y 4. Creo que 3. no se mantiene bien, pero no podemos pensar en un ejemplo para mostrar esto. Por último, 4. Creo que está muy mal, ya que como lo que yo sé la inclusión $L^q(\Omega)\subset L^p(\Omega)$ sólo se mantiene si $\lambda(\Omega)<\infty$. Pero de nuevo, no puedo pensar en un contra-ejemplo para esto.

Puede alguien pensar que de buenos ejemplos de esto? (O corregir mi si me equivoco) Gracias!

Answer 1

Supongamos que $(X,\mathcal M,\mu)$ es un espacio de medida y que $1 \le p < q < \infty$. Entonces

1. $L^q(\mu) \subset L^p(\mu)$ Si y sólo si $X$ no contiene conjuntos de medida finita arbitrariamente grande, y
2. $L^p(\mu) \subset L^q(\mu)$ Si y sólo si $X$ no contiene conjuntos de medida positivo arbitrariamente pequeño.

En su caso, 2 es cierto pero las otras son todas falsas.