Dado $B \in M_{n\times n}(\mathbb R)$ es invertible y $B^2+B^4+B^7 = I$ encontrar una expresión para $B^{-1}$ en términos de sólo $B$ .

Question

Dado $B \in M_{n\times n}(\mathbb R)$ es invertible y $B^2+B^4+B^7=I$ encontrar una expresión para $B^{-1}$ en términos de sólo $B$ .

No sé por dónde empezar. Gracias de antemano.

Answer 1

Puede comenzar con $B^{-1}=B^{-1}I$ .

Answer 2

Desde $B^2 + B^4 + B^7 = I$ tenemos $B(B + B^3 + B^6) = I$ por lo tanto $B^{-1} = B + B^3 + B^6$ . Tenga en cuenta también que, como $B^7 + B^4 + B^2 - I = 0$ cualquier valor propio $\lambda$ de $B$ debe satisfacer $\lambda^7 + \lambda^4 + \lambda^2 - 1 =0$ por lo que no puede ser $0$ por lo que la hipótesis de que $B$ es invertible es extraño, dado que $B$ satisface $B^2 + B^4 + B^7 = I$ . Espero que esto ayude.