Preguntas: Dada un álgebra de grado positivo de dimensión finita $A$ sobre algún anillo $R$ que satisface la dualidad de Poincaré en alguna dimensión $n$ ¿existe necesariamente un espacio topológico $X$ tal que $H^*(X;R) \cong A$ ?
Reconozco que es una pregunta de realización pero no sé mucho de topología algebraica.
El caso que más me interesa es cuando $R$ es un campo. Como vaga motivación, me interesa saber si, dada tal $A$ en $\mathbb{Q}$ existe un álgebra elíptica de Sullivan $(\Lambda V, d)$ tal que $H(\Lambda V, d) \cong A$ . La inversa aparece en el libro de texto Rational Homotopy Theory de Felix et. al.:
Teorema: Si $(\Lambda V,d)$ es un álgebra elíptica de Sullivan (es decir $V$ y $H(\Lambda V, d)$ son espacios vectoriales de dimensión finita) sobre un de característica 0, entonces $H(\Lambda V, d)$ satisface Poincaré de Poincaré.
Hay al menos algunas álgebras de Sullivan $(\Lambda V, d)$ cuasi-isomorfo a $A$ (ya que $A^0 \cong R$ ), pero la cuestión es si alguna de ellas es elíptica. Puede que lo haga en otro post más adelante.
