Dejemos que $E$ sea un conjunto medible de medida finita y $1 < p_1 < p_2 < \infty$ . Consideremos el espacio lineal $L^{p_2} (E)$ normalizado por $||.||_{p_1}$ . ¿Es este espacio lineal normado un espacio de Banach?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
He dejado unos tres comentarios erróneos por confundir $p_1$ y $p_2$ así que déjame decirlo de la manera correcta esta vez.
No es un espacio de Banach, en general. Tomemos $E = (0,1)$ con medida de Lebesgue, por ejemplo, y $p_1 = 2$ , $p_2 = 4$ . La función $f(x) = x^{-1/3}$ está en $L^2$ pero no en $L^4$ . Sea $f_n$ sea una secuencia en $L^4$ que converge, en $L^2$ norma, a $f$ por ejemplo, $f_n = \max(f, n)$ . Esta secuencia es Cauchy en $L^2$ pero no converge en $L^2$ a cualquier elemento de $L^4$ .
Se puede demostrar que sólo es un espacio de Banach si $E$ es una unión finita de átomos. En este caso $L^{p}(E)$ es de dimensión finita para todo $p$ por lo que todas las normas son equivalentes.
A efectos prácticos, hay que esperar que un espacio vectorial dado tenga como máximo una norma de Banach "razonable", hasta la equivalencia. Una segunda norma en un espacio de Banach o bien es equivalente a la primera, o bien es incompleta, o bien es algún axioma patológico no constructivo del monstruo de la elección. Se puede leer más sobre esto en Schechter, Manual de análisis y sus fundamentos . En este caso, las normas no son claramente equivalentes (a menos que, como se ha mencionado, $L^p(E)$ es de dimensión finita), y ambos son muy explícitos, por lo que esperamos que ambos no puedan ser completos.
Nathanael Skrepek
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Bien, supongamos que $(L^{p_2},\|.\|_{p_1})$ es un espacio de Banach, entonces el mapa \begin{align*} \Phi:(L^{p_2},\|.\|_{p_2}) &\to (L^{p_2},\|.\|_{p_1}), \\f &\mapsto f \end{align*} no sólo es continua, sino también bicontinua. Esto se deduce del hecho de que $\|.\|_{p_1} \leq C \|.\|_{p_2}$ y el teorema del mapa abierto . Ahora bien, esto arroja que hay un $K>0$ tal que \begin{align*} \|\Phi(f)\|_{p_1} \geq K \|f\|_{p_2} \\ \|f\|_{p_1}\geq K \|f\|_{p_2} . \end{align*} Tomemos ahora una secuencia de conjuntos $A_n \subseteq E$ con $0<\lambda(A_n)\to 0$ ( $\lambda$ denota la medida de Lebesgue) y considerar la desigualdad anterior \begin{align*} \lambda(A_n)^{\frac{1}{p_1}} \geq K \lambda(A_n)^{\frac{1}{p_2}} \quad \text{for all} \quad n\in\mathbb{N}\\ \lambda(A_n)^{\frac{1}{p_1}-\frac{1}{p_2}} \geq K \quad \text{for all} \quad n\in\mathbb{N} \end{align*} Pero $\frac{1}{p_1}-\frac{1}{p_2}>0$ debido a nuestras suposiciones, esto nos lleva a $K = 0$ que contradice $K>0$ . Así que no puede ser un espacio de Banach
