Encuentre un $2$ -Silow subgrupo de $\mathrm{GL}_3(F_7)$

Question

Tenemos $|\mathrm{GL}_3(F_7)| = 7^3 \cdot 2^6\cdot 3^4\cdot 19$ . Puedo encontrar el $3,7,19$ -subgrupo Sylow de la misma, pero no se encontró un $2$ -Subgrupo Sylow. ¿Se puede ayudar?

Answer 1

La versión corta: $ \newcommand{\GF}[1]{\mathbb{F}_{#1}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\Sym}[1]{\operatorname{Sym}(#1)} \newcommand{\bm}[5]{\left[\begin{array}{r|rr} #1 & 0 & 0 \\ \hline 0 & #2 & #3 \\ 0 & #4 & #5 \end{array}\right]} $ Un subgrupo Sylow 2 es un producto directo del subgrupo Sylow 2 de $\GF{7}^\times$ con el subgrupo Sylow 2 de $\Gal(\GF{49}/\GF{7}) \ltimes \GF{49}^\times$ .

Recordemos que el grupo de Galois de $\GF{49}$ actúa $\GF{7}$ -de forma lineal en $\GF{49}$ . Del mismo modo, $\GF{49}^\times$ (y $\GF{7}^\times$ ) actuar $\GF{7}$ -de forma lineal en $\GF{49}$ (y $\GF{7}$ respectivamente). Así, esos grupos acaban actuando en $\GF{7} \times \GF{49} \cong \GF{7}^3$ .

Versión explícita: En términos de matrices, es decir $$ \bm{-1}{1}{0}{0}{1}, \qquad \bm{1}{1}{0}{-1}{-1}, \qquad \bm{1}{0}{1}{1}{-1}$$

Dividimos las matrices en bloques. La superior izquierda $1 \times 1$ El bloque es $\GF{7}$ . La parte inferior derecha $2\times 2$ El bloque es $\GF{49}$ .

La primera matriz genera el subgrupo Sylow 2 de $\GF{7}^\times$ la segunda matriz es el automorfismo de Frobenius de $\GF{49}$ y el último genera el subgrupo Sylow 2 de $\GF{49}^\times$ de la orden 16. Aquí elijo una base de $\GF{49}$ de la forma $\{1,\xi\}$ donde $\xi$ es una primitiva $16$ raíz de la unidad en $\GF{49}$ . Para una opción que hace que la segunda matriz sea más bonita, véase más abajo.

Versión intuitiva:

Utilizaré repetidamente un hecho simple pero útil: Si $H \leq G$ son finitos, y $p$ no divide el índice $[G:H]$ , entonces cada Sylow $p$ -subgrupo de $H$ es un Sylow $p$ -subgrupo de $G$ . Elegiré $H$ para poder utilizar la inducción. Voy a tratar de describir todo Sylow $p$ -subgrupos para todas las potencias primarias $q$ pero no lo voy a tener en cuenta. $p$ divide $q$ (los unitriangulares superiores forman un Sylow $p$ -subgrupo en este caso), y asumiré $q$ es impar para hacer unas declaraciones más suaves.

Puse un versión más completa en mi página web.

El orden de $\GL(3,q)$ es $(q^3-1)(q^3-q)(q^3-q^2) = q^3(q-1)^3(q+1)(q^2+q+1)$ y esta última factorización es la que impulsa la mayor parte del análisis caso por caso. Los principales subgrupos que consideramos son $\GF{q}^\times \cong \GL(1,q)$ , $\GF{q^2}^\times \leq \GL(2,q)$ y $\GL(1,q) \times \GL(1,q) \times \GL(1,q) \leq \GL(1,q) \times \GL(2,q) \leq \GL(3,q)$ .

Supongamos que $q$ es una potencia primaria impar. Entonces $[\GL(3,q):\GL(1,q) \times \GL(2,q)] = q^2(q^2+q+1)$ . Para muchos primos $p$ , un Sylow $p$ -subgrupo está contenido en $\GL(1,q) \times \GL(2,q)$ . Las excepciones son las siguientes $p$ tal que $q$ tiene el orden 3 mod $p$ y, por supuesto, la característica definitoria donde $p$ divide $q$ . En cualquier caso, si $q$ es impar, entonces $p=2$ no divide $q^2(q^2+q+1) \equiv 1 \mod 2$ por lo que un subgrupo Sylow 2 está contenido en $\GL(1,q) \times \GL(2,q)$ .

Por lo tanto, queremos el producto directo de un Sylow $p$ -subgrupo de $\GL(1,q)$ y un Sylow $p$ -subgrupo de $\GL(2,q)$ al menos para nuestro $p=2$ .

El subgrupo Sylow 2 de $\GL(1,q)\cong \GF{q}^\times$ es isomorfo al subgrupo Sylow 2 de $\GF{q}^\times$ . En caso de que $q=7$ se genera por $\begin{bmatrix}-1\end{bmatrix}$ de orden 2. En general, llamaré $\zeta$ un generador del Sylow $p$ -subgrupo de $\GF{q}^\times$ .

El subgrupo Sylow 2 de $\GL(2,q)$ viene en dos variedades. El índice $[\GL(2,q):\Sym{2} \ltimes (\GL(1,q) \times \GL(1,q))] = q(1+q)/2$ , así que asumiendo $p$ no divide $q$ (automático si $q$ es impar y $p=2$ ) y $p$ no divide $(1+q)/2$ (para $p=2$ y $q$ impar esto sólo significa $1 \equiv q \mod 4$ ), entonces el Sylow $p$ -subgrupo está contenido en $\Sym{2} \ltimes (\GL(1,q) \times \GL(1,q))$ .

En tal caso, $1 \equiv q \mod 4$ el subgrupo completo de Sylow 2 está generado por las matrices:

$$ \bm{\zeta}{1}{0}{0}{1}, \qquad \bm{1}{0}{1}{1}{0}, \qquad \bm{1}{\zeta}{0}{0}{1} $$

En el otro caso, $3 \equiv q \mod 4$ , ver $\GF{q}^2$ como $\GF{q^2}$ eligiendo una base. Sugiero elegir una base $\{x,x^q\}$ para que la transformación lineal $\GF{q^2} \to \GF{q^2}:t \mapsto t^q$ está representada por la matriz $\left[\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}\right]$ . Ahora elija $\xi \in \GF{q^2}$ un generador del Sylow $p$ -subgrupo de $\GF{q^2}^\times$ . Multiplicación por $\xi$ es un $\GF{q}$ -mapa lineal de $\GF{q^2}$ , por lo que tiene una matriz, denótela $A$ . En cualquier caso, $[\GL(2,q):\Gal(\GF{q^2}/\GF{q})\ltimes \GF{q^2}^\times] = q(q-1)/2$ y como $3 \equiv q \mod 4$ , $p=2$ no divide este índice.

En este caso, $3 \equiv q \mod 4$ el subgrupo completo de Sylow 2 está generado por las matrices:

$$\bm{\zeta}{1}{0}{0}{1}, \qquad \bm{1}{0}{1}{1}{0}, \qquad \left[\begin{array}{r|r} 1 & 0 \\ \hline 0 & A \end{array}\right] $$

En la respuesta explícita anterior, elegí una base diferente de $\GF{q^2}$ , $\{1,\eta\}$ y con respecto a esta base $A$ tiene la matriz $\left[\begin{smallmatrix}0&1\\1&-1\end{smallmatrix}\right]$ because the minimum polynomial of $\eta$ is $\eta^2+\eta-1$. This is easy to calculate, but the Frobenius map is more of a pain, $\eta^7 = -1-\eta$, so its matrix is now $\left[\begin{smallmatrix}1&0\\-1&-1\end{smallmatrix}\right]$ .

Answer 2

En general, podemos utilizar el producto de la corona para construir un subgrupo 2-silvestre, por ejemplo, véase https://mathoverflow.net/questions/127917/ para algunos detalles.

Pero en este caso especial podemos encontrar un bello subgrupo explícito de 2-silos con exactamente 64 elementos. A saber:

$$\begin{bmatrix}\pm1 & & \\ & \pm1 & \\ & & \pm1 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} & & \pm1\\ & \pm1 & \\ \pm1 & & \end{bmatrix}$$