¿Es continua esta función?

Question

$$f(x,y)= \begin{cases} (1+xy^2)^{\frac{1}{x^2+y^2}}, &\text{if }(x,y) \neq (0,0) \\ \\1, &\text{if }(x,y) = (0,0). \end{cases} $$

¿Es continua esta función? ¿Cómo puedo averiguarlo?

Gracias de antemano.

Answer 1

Consideremos $$0 \le \left |\log\left((1+xy^2)^{\frac 1 {x^2+y^2}}\right)\right|=\left|\frac {\log(1+xy^2)}{ x^2+y^2}\right|\sim \left|\frac {xy^2}{x^2+y^2}\right|=\frac {|x|y^2}{x^2+y^2} \le |x| \to 0$$ como $x\to 0, y\to 0$ . Esto implica la continuidad de la función considerada en $(0,0).$