Es conveniente definir $g(x)=f(x)+x$; el funcional de la ecuación de lee $$g(x+g(y))=g(x)+g(y)+ny.$$ We have $g(0)=0$, and setting $x=0$ we have $$g(g(y))=g(y)+ny.$$ Plugging this into the general functional equation, we get $$g(x+g(y))=g(x)+g(g(y)).$$ Letting $z=g(y)$, this says that $g(x+z)=g(x)+g(z)$ as long as $z$ is in the image of $g$. Let $A$ be the subgroup of $\mathbb{Z}$ generated by the image of $g$; it follows by an easy induction that $g(x+z)=g(x)+g(z)$ is valid whenever $x,z\en Un$. That is, the restriction of $g$ to $$ is a homomorphism $\a$. Note also that $g$ is not identically zero (since $n>0$), so $A\neq\{0\}$; let $m>0$ be such that $A=m\mathbb{Z}$. Then we must have $g(z)=qz$ for all $z\en$, where $q=g(m)/m$ is an integer. Plugging this into the original functional equation (assuming $x,y\in$) and equating the coefficients of $y$, we get $$q^2-q-n=0.$$
Este tiene un número entero solución iff $4n+1$ es un cuadrado, es decir,$q=\frac{1\pm\sqrt{4n+1}}{2}$. Por lo tanto no hay tal $g$ puede existir a menos que $4n+1$ es un cuadrado.
Ahora considere el $g(g(g(y)))$, recordando la anterior identidad $g(g(y))=g(y)+ny$. Por un lado, tenemos a $$g(g(g(y)))=qg(g(y))=qg(y)+qny.$$
Por otro lado, tenemos a $$g(g(g(y)))=g(g(y))+ng(y)=qg(y)+ng(y).$$
La comparación de estas dos ecuaciones, nos encontramos con que $g(y)=qy$, para arbitrario $y$.
En resumen, hemos demostrado que existe una función de $g$ fib $4n+1$ es un cuadrado, en cuyo caso hay exactamente dos $g$, es decir, $g(x)=qx$ donde $q=\frac{1\pm\sqrt{4n+1}}{2}$ (es fácil comprobar que estas funciones lineales satisfacen la ecuación funcional). En términos de la función original $f$, las únicas soluciones son $$f(x)=\frac{-1+\sqrt{4n+1}}{2}x$$ and $$f(x)=\frac{-1-\sqrt{4n+1}}{2}x.$$
