Los residuos de $\frac{\cos(\frac{\pi}{z-1})}{z^2 \sin z}$ $z=1$

Question

Los residuos de $$\frac{1}{z^2 \sin z}\cos\left(\frac{\pi}{z-1}\right)$$ at $z=1$.

Lo que es más importante, ni siquiera sé si existe o no. El que crea esta pregunta se ha hecho preguntas que son irresolubles.

He probado algunos de los métodos, si bien no son tan exitosos.

1. Wolfram alpha. Ni siquiera dar una respuesta en este momento.

2. Expansión de la serie. Pero esto resulta ser demasiado feo. La expansión de $\cos$, $z^2$ y $\sin $ respectivamente, y evaluar el coeficiente de $\frac{1}{z-1}$ parece imposible y tonta (sin la ayuda de matlab).

3. a ver si es una singularidad removible. Considerando $\lim_{z \to 1} (z-1) f(z)$, alguna vez pensé que me hizo por $-1 \leq \cos z \leq 1$, pero esta desigualdad no se aplica en el complejo.

Por favor, ayudar.

Answer 1

En lugar de calcular el residuo en el punto dado, calcular los residuos en las otras singularidades. Dado $f(z)=\frac{\cos\frac{\pi}{z-1}}{z^2\sin z},$ tenemos:

$$ \operatorname{Res}_{z=k\pi} f(z) = \frac{(-1)^k}{\pi^2 k^2} \cos\frac{\pi}{\pi k -1} $$ para cualquier $k\in\mathbb{Z}\setminus 0$ y el:

$$ \operatorname{Res}_{z=0} f(z) = \frac{3\pi^2-1}{6},$$ así que el residuo desea calcular está dado por una serie convergente: $$ \operatorname{Res}_{z=1} f(z) = \frac{1-3\pi^2}{6}-\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{\pi^2 k^2}\left(\cos\frac{\pi}{\pi k-1}+\cos\frac{\pi}{\pi k+1}\right) = \color{red}{-4.7143885\ldots}.$$

Gracias a Daniel Fischer y Ron Gordon, esto es debido a que la suma de todos los residuos es cero, ya que para cualquier número positivo $n$, $$ \oint_{|z|=\frac{\pi}{2}+n\pi}f(z)\,dz = O\left(\frac{1}{n}\right).$$ Por otra parte, ya que para cualquier número natural positivo $k$: $$ \operatorname{Res}_{z=k\pi}f(z)=\frac{1}{2\pi i}\left(\int_{|z|=(k+1/2)\pi}f(z)\,dz-\int_{|z|=(k-1/2)\pi}f(z)\,dz\right) = O\left(\frac{1}{k^2}\right), $$ tenemos: $$ \oint_{|z|=R}f(z)\,dz=O\left(\frac{1}{R}\right) $$ para cualquier $R\in\mathbb{R}_{>1}\setminus\pi\mathbb{N}.$