Algunos ejemplos de profundidad

Question

Esto está relacionado con el pregunta Lo pregunté la última vez. Esto suena un poco demasiado específico, espero que esta pregunta sea todavía aceptable en MO.

Todavía no me siento muy cómodo con el concepto de profundidad, y hay un ejercicio en el libro de Matsumura que dice lo siguiente:

Encuentra un ejemplo de anillo local noetheriano $A$ y un finito $A$ -Módulo $M$ tal que $\rm{depth}M > \rm{depth}A$ . También encontrarán $A$ , $M$ y $P \in \rm{Spec}A$ tal que $\rm{depth} M_P > \rm{depth}_P(M)$ .

Espero haber encontrado ejemplos correctos, pero todavía estoy bastante perdido sobre por qué se pueden encontrar esos ejemplos, y cuáles son los genéricos. Así que si alguien puede darme algunos ejemplos representativos se lo agradecería.

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Los ejemplos que me encontré:

Para el primero, está claro que $A$ no debe ser Cohen-Macaulay. Entonces puse $A = \frac {k[x,y,z]}{(xz,yz)}_{(x,y,z)}$ que es de profundidad 1, y considero su cociente por $(z)$ que es $k[x,y]_{(x,y)}$ y debe ser de profundidad 2 (al menos $x,y$ es una secuencia regular, creo).

Para el segundo, trato de arreglar $depth_P(M) = 0$ , lo que significa que $P$ debe estar en algunos primos asociados de $M$ , por lo que considero que $M = \frac {k[x,y,z]}{(x^2,xy,xz)}_{(x,y)}$ , de tal manera que $(x,y)$ no es primo asociado cuando se localiza.

Answer 1

1) Empezar con un anillo local normal $R$ . Toma 2 ideales $I,J$ tal que $I$ no contiene $J$ , $R/I$ es CM y $\dim R/J <\dim R/I$ . Entonces $A=R/(I\cap J)$ y $M=R/I$ trabajo. En su ejemplo, $I=(x)$ y $J=(y,z)$ . La razón es que CM significa no mezclado, por lo que al tener componentes de diferentes dimensiones se asegura que A no es CM.

2) Toma $(A,m,k)$ sean cualesquiera anillos CM de dimensión al menos 2. Sea $M=A\oplus k$ . Entonces, para cualquier no-minimal $P\in Spec(A)-{m}$ , $depth M_P =depth A_P$ pero $depth M=0$ .

El tema común: la profundidad suele ser la mínima de todos los componentes, mientras que la dimensión es la máxima de ellos.