¿Es equivalente la topología que tiene la misma convergencia secuencial con una topología metrizable que esa topología?

Question

Dejemos que $\mathscr T_1$ y $\mathscr T_2$ sean dos topologías sobre el espacio $X$ . Supongamos que $(X,\mathscr T_1)$ es metrizable, y cualquier secuencia en $X$ que converge en una de las dos topologías debe converger también en las otras topologías, es decir $$(\,\forall\{x_n\}_{n\in\mathbb N}\subset X\,)\Big(\big(x_n\xrightarrow[]{\mathscr T_1} x\big) \Leftrightarrow \big(x_n\xrightarrow[]{\mathscr T_2} x\big)\Big).$$

La cuestión es si $\mathscr T_1$ y $\mathscr T_2$ son la misma topología en $X$ ?

La respuesta debería ser afirmativa, ya que este argumento se utiliza en muchos libros de análisis sin dudarlo, como por ejemplo la prueba de la metrizabilidad de los espacios localmente convexos en el libro de análisis funcional de Conway . Pero no sé cómo probarlo.

Se agradecerá cualquier comentario o sugerencia.

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Editar: Lo siento mucho. Voy a explicar aquí los detalles que me pareció el enlace del libro de Conway. La motivación es de la prueba de la Proposición IV.2.1 en ese libro como enlazado.

Para demostrar la parte de la necesidad de la proposición, es decir,

Si un espacio local compacto $X$ es metrizable, entonces su topología está determinada por una familia contable de seminormales.

el autor construye una familia contable de seminormas $\{p_n\}$ y luego demostrar que $\{p_n\}$ determinan la misma convergencia secuencial que una métrica dada $\rho$ de $X$ Es decir, $$(\,\forall\{x_n\}_{n\in\mathbb N}\subset X\,)\Big(\big(x_n\xrightarrow[]{\{p_n\}} x\big) \Leftrightarrow \big(x_n\xrightarrow[]{\rho} x\big)\Big).$$ Pero cómo afirmar a partir de la afirmación anterior que $\{p_n\}$ determinar la misma topología que la original?

Answer 1

No, esto no es cierto en general. Por ejemplo, dejemos que $F$ sea un ultrafiltro no principal en $X=\mathbb{N}$ . Sea $\mathscr{T}_1$ sea la topología discreta, y sea $\mathscr{T}_2$ consiste en todos los conjuntos que o bien están en $F$ o no contienen $0$ . En ambas topologías, una secuencia converge si es finalmente constante, y $\mathscr{T}_1$ es metrizable.

En la prueba de la Proposición IV.2.1, $\mathscr{T}_2$ se sabe, además, que es contable en primer lugar, ya que está generada por un número contable de seminormas.

Answer 2

En la medida en que un espacio discreto es metrizable y no tiene secuencias convergentes no triviales, todo lo que se necesita para un contraejemplo es cualquier espacio no discreto sin secuencias convergentes no triviales. Hay muchos ejemplos; aquí hay dos que no implican el axioma de elección.

Ejemplo 1. Dejemos que $X$ sea un conjunto incontable, elija un elemento $p\in X,$ y que $$\tau=\{A\subseteq X:p\notin A\text{ or }|X\setminus A|\le\aleph_0\}.$$

Ejemplo 2. Dejemos que $X=\mathbb N=\{1,2,3,\dots\}$ y que $$\tau=\left\{A\subseteq\mathbb N:1\notin A\text{ or }\sum_{n\in\mathbb N\setminus A}\frac1n\lt\infty\right\}$$