No sé la mejor manera de describirla en términos técnicos, pero ¿cuál es el resultado de una continua del logaritmo de $z$, por ejemplo:
$$\log(\log(\dots\log(z)))$$
Donde se toma el logaritmo del logaritmo y así sucesivamente, para una cantidad infinita de veces?
Cómo haría este tipo de cosas se comportan? Hace converger, ir hasta el infinito, o un infinitesimal? ¿El comportamiento resultante depende de si $z$ es imaginario o real? ¿Positiva o negativa?
Si $\Im(z)$ (la parte imaginaria de $z$) es mayor que o igual a cero, entonces esto converge a aproximadamente el $z_\infty = 0.318152 + 1.33724 i$.
Si $\Im(z)<0$ converge a $z_\infty = 0.318152 - 1.33724 i$.
Este supuesto se basa en la sucursal habitual de corte para $\log z$.
Los casos excepcionales son los casos en que un número finito de itetations tierras en $1$ (o empezando $z=0$. Estos incluyen la $1, e, e^e$, y así sucesivamente.
Sin embargo, hay puntos aislados para que la iterada de registro ni va al infinito ni converge. Por ejemplo, para cualquier $z$ tal que $$e^z = \log z \neq z$$ la iterada de registro oscila entre el$z$$\log z$. Creo que hay puntos; por ejemplo, hay un inestable 2-ciclo de punto fijo en aproximadamente $$ z= 0.883998 + 6.922346 yo $$
Iff converge, entonces
$$a=\log(\log(\dots\log(z)\dots))=\log(a)$$
Por lo tanto,
$$a=\log(a)$$
$$e^a=a\implies-1=-ae^{-a}\implies a=-W_k(-1)\stackrel{k=0}\approx0.318-1.337i$$
es la función W de Lambert. Tenga en cuenta que esta es constante, y que sólo depende de si o no la elección de $z$ convergen y donde $z$ es. La posición de $z$ va a determinar qué rama de la función W de Lambert va a converger. Un par de notas:
Si le $z$ es un perfecto super poder de $e$, entonces diverge debido a $\log(0)$. Es decir,$z\ne e^{e^{e^{\dots}}}$$z\ne0$.
Estoy bastante seguro de que converge en todas partes, con la excepción de $z=-W(-1)$.
No ha terminado con el resto: $\color{white}{Let \$z=re^{i\theta}\$. Entonces tenemos \$\$\log(z)=\log(r)+i\theta=r_1e^{i\theta_1}\$\$ Podemos ver que \$r_1=\sqrt{\log^2(r)+\theta^2}\$\$\theta_1=\arg(\log(r)+i\theta)\$. A partir de esto, podemos discernir que \$r\$ debe estar acotada, y del mismo modo, estamos a la izquierda para ver el $\theta$. Como \$r\to r'\$ ser el límite de \$r\$, \$\theta\$ también se aproxima a un límite}$
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