Cómo integrar la $\int (x-1)\sqrt{x} \, \text{d}x$

Question

¿Cómo puedo encontrar esta integral:

$$\int (x-1)\sqrt{x} \, \text{d} x$$

Pensé en usar la sustitución, pero no estoy seguro de lo que debe utilizar como $u$.

Answer 1

$$ \int(x-1)\sqrt x \, dx = \int (x^{3/2} x^{1/2})\, dx = \cdots $$

Answer 2

Usted probablemente puede anti-diferenciar fácilmente suficiente. $$(x-1)\sqrt{x} = x^{3/2}-x^{1/2}$$ Now just use the power rule in reverse and add a constant $C$.

Answer 3

Cambie a : $$x^{3/2} - x^{1/2}$$ e integrar.

Answer 4

$$\int { \left( x-1 \right) \sqrt { x } dx } =\int { \left( { x }^{ \frac { 3 }{ 2 } }-{ x }^{ \frac { 1 }{ 2 } } \right) dx= } \int { { x }^{ \frac { 3 }{ 2 } } } dx-\int { { x }^{ \frac { 1 }{ 2 } } } dx=\\ =\frac { 2 }{ 5 } { x }^{ \frac { 5 }{ 2 } }-\frac { 2 }{ 3 } x^{ \frac { 3 }{ 2 } }+C$$

Answer 5

Aviso, la siguiente fórmula $$\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$$ Now, we have $$=\int (x-1)\sqrt xdx $$ $$=\int (x-1)x^{1/2}dx $$ $$=\int (x^{3/2}-x^{1/2})dx $$ $$=\frac{x^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1}-\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}+c $$ $$=\frac{2}{5}x^{5/2}-\frac{2}{3}x^{3/2}+c $$

Por lo tanto, tenemos $$\bbox[5px, border:2px solid #C0A000]{\color{red}{\int (x-1)\sqrt xdx =\frac{2}{5}x^{5/2}-\frac{2}{3}x^{3/2}+c}}$$