Es el número de círculos en el Apolíneo junta contables?

Question

¿Es correcto decir que el número de círculos en un Apolíneo junta está contables porque podemos formar una correspondencia con un conjunto de Cantor, como sus métodos de construcción son similares?

¿Qué pasa si aplicamos el Apolíneo junta de construcción en el interior de un fractal como el copo de nieve de Koch? (Creo que todavía va a ser contable.)

Lo que si hizo lo Apolíneo junta de construcción entre f(x) = sen(1/x) y g(x) = 2 - sin(1/x) entre -1 y 1?(Creo que todavía va a ser contables demasiado, pero no es coincidencia que mi intuición... que dice que "de ninguna manera es que los contables!")

Es allí cualquier curva cerrada que daría como resultado el número de círculos de ser incontable?

Lo que si tenemos en cuenta el Apolíneo junta hecha de esferas en $\mathbb{R}^3$?

(Por favor, tenga en cuenta que sólo han tenido dos cursos en el Análisis. Mis disculpas si algo de esto es demasiado ingenuo.)

Answer 1

La razón por la que una colección de distintos bloques abiertos en $\mathbb{R}^n$ es en la mayoría de los contables es que $\mathbb{R}^n$ es separable: tiene una contables densa subconjunto dado por los puntos racionales de coordenadas, y cualquier conjunto abierto debe contener tal punto que a los demás no contienen, por lo que no puede haber más de countably muchos de ellos.

Hay también una medida de la teoría de la argumentación basándose en el hecho de que $\mathbb{R}^n$ con la medida de Lebesgue es $\sigma$-finito, que podrían estar cerca de llegar a un acuerdo con la intuición geométrica: si usted podría caber una cantidad no numerable de abiertos bolas en $\mathbb{R}^n$, algunos cerró $n$-cubo (WLOG $[0, 1]^n$) contienen una cantidad no numerable de ellos, cada uno de los cuales habría medida positiva. Pero un argumento estándar muestra que esto es imposible: si $S_k$ es el conjunto de bolas en $[0, 1]^n$ de radio mínimo de $\frac{1}{k}$, entonces a partir de la $\bigcup S_k$ es incontable de ello se desprende que algunos de los $S_k$ es incontable, por lo tanto contables de los sindicatos de sus elementos tienen unbounded medida; la contradicción.

El argumento en su primera frase obras para mostrar que el número de círculos en el estándar de la construcción de un Apolíneo junta (empezar con algunos círculos y agregar círculos) es contable, ya que en cada paso sólo un número finito de círculos están construidos. Pero tal vez usted está pensando de una forma más general de la construcción.

Answer 2

Usted puede hacer uso de la medida, en lugar de topología, si te gusta. Los círculos (en realidad, abrir los discos) en esta colección son distintos, pero tiene medida positiva. Espacio de $\mathbb R^2$ es sigma-finito para $2$-dimensional de la medida de Lebesgue. Por lo tanto, tenemos en la mayoría de los countably muchos discos de esta colección.