Extensión

Question

Deje $K=\mathbb{Q}(\sqrt[n]a)$ donde $a\in\mathbb{Q}$, $a>0$ y supongamos $[K:\mathbb{Q}]=n$. Deje $E$ ser cualquier subcampo de $K$ y deje $[E:\mathbb{Q}]=d.$ Demostrar que $E=\mathbb{Q}(\sqrt[d]a)$.

Es bastante claro que $\mathbb{Q}(\sqrt[d]a)$ han $x^d-a$ como mínimo polinomio en orden a que tienen un grado $d$. Y también se $d|n$. También tenemos $x^n-a$ es irreduicible. ¿Cómo se sigue que la $x^d-a$ también debe ser irreductible? También estoy teniendo problemas para mostrar $\mathbb{Q}(\sqrt[d]a)$ es el único subcampo de grado $d$. Si tenemos en cuenta $N_{K/E}(\mathbb{Q}(\sqrt[d]a))$, en $E$, lo que son todos los automorfismos? Si $n$ es incluso la conjugación $\sqrt[n]a\mapsto-\sqrt[n]a$ es un automorphism.

Para la segunda parte, tengo que mostrar que si $n$ es impar, a continuación, $K$ no tiene no trivial subcampos que se Galois sobre $\mathbb{Q}$ e si $n$ es incluso la única que no sea trivial subcampo de $K$ que es Galois sobre$\mathbb{Q}$$\mathbb{Q}(\sqrt{a})$.

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Aquí es más general de la situación. Deje $F$ ser un campo, $a \in F^\times$, y asumir la $X^n - a$ es irreducible sobre $F$.

(1) queremos mostrar para cada una de las $d|n$ que $X^d - a$ es irreducible sobre $F$.

(2) la Escritura de $\sqrt[n]{a}$ como notación para una raíz de $X^n - a$, asumir cualquier $n$th raíces de la unidad en la $F(\sqrt[n]{a})$ en el hecho de mentir en $F$. (Ejemplo: $F = {\mathbf Q}$$a > 0$, lo ${\mathbf Q}(\sqrt[n]{a})$ es isomorfo a un subcuerpo de ${\mathbf R}$, lo que deja en claro que la única raíces de la unidad en todos los en ${\mathbf Q}(\sqrt[n]{a})$$\pm 1$, que se encuentran en ${\mathbf Q}$.) Queremos mostrar, para cada una de las $d|n$, que el único campo que se entre $F$ $F(\sqrt[n]{a})$ grado $d$ $F(\sqrt[d]{a})$ donde $\sqrt[d]{a} := \sqrt[n]{a}^{n/d}$.

La prueba de (1): Escriba $\sqrt[d]{a}$$\sqrt[n]{a}^{n/d}$, lo $\sqrt[d]{a}$ es una raíz de $X^d - a$. En la torre de $F \subset F(\sqrt[d]{a}) \subset F(\sqrt[n]{a})$,$[F(\sqrt[d]{a}):F] \leq d$$[F(\sqrt[n]{a}):F(\sqrt[d]{a})] \leq n/d$, ya que el $\sqrt[d]{a}$ es una raíz de $X^d - a \in F[X]$ $\sqrt[n]{a}$ es una raíz de $X^{n/d} - \sqrt[d]{a} \in F(\sqrt[d]{a})[X]$. Debido a $$[F(\sqrt[n]{a}):F] = [F(\sqrt[n]{a}):F(\sqrt[d]{a})][F(\sqrt[d]{a}):F]$$ y nos suponga que el lado izquierdo es $n$, se deduce que nuestros límites superiores para los términos de la derecha debe ser la igualdad. En particular, $[F(\sqrt[d]{a}):F] = d$, lo $X^d - a$ debe ser irreductible $F$ (tiene una raíz con grado $d$$F$).

La prueba de (2): Vamos a $d|n$ y supongamos $E$ es un campo con $F \subset E \subset F(\sqrt[n]{a})$$[E:F] = d$. Para demostrar $E = F(\sqrt[d]{a})$, es suficiente para mostrar $\sqrt[d]{a} \in E$, ya que nos daría $F(\sqrt[d]{a}) \subset E$ y ya hemos visto en (1) $F(\sqrt[d]{a})$ tiene el grado $d$$F$, por lo que la contención $F(\sqrt[d]{a}) \subset E$ tendría que ser una igualdad.

Deje $f(X)$ ser el polinomio mínimo de a$\sqrt[n]{a}$$E$, lo $f(X)|(X^n - a)$$\deg f = n/d$. Cualquiera de las dos raíces de la $f(X)$ $n$th raíces de $a$, y por lo tanto tienen una proporción que es un $n$th raíz de la unidad, por lo que en términos de una raíz $\sqrt[n]{a}$ podemos escribir cualquier otro raíz de $f(X)$ $\zeta\sqrt[n]{a}$ algunos $n$th raíz de la unidad $\zeta$. (No estoy haciendo ninguna suposición acerca de la $n$th raíces de la unidad, siendo distintos, en el caso de $F$ ha característica positiva, y cada una de estas $n$th raíces de la unidad no necesita de la mentira en $F(\sqrt[n]{a})$.) En una división de campo, la factorización de $f(X)$ $\prod_{i \in I} (X - \zeta_i\sqrt[n]{a})$ algunos $n$th raíces de la unidad $\zeta_i$ ($I$ es sólo un conjunto de índices). El término constante de $f(X)$$E$, lo $(\prod_{i \in I} \zeta_i)\sqrt[n]{a}^{n/d} \in E$. Por lo tanto,$(\prod_{i \in I} \zeta_i)\sqrt[n]{a}^{n/d} \in F(\sqrt[n]{a})$, lo $\prod_{i \in I} \zeta_i \in F(\sqrt[n]{a})$. La única $n$th raíces de la unidad en la $F(\sqrt[n]{a})$ son, por hipótesis, en $F$, lo $\prod_{i \in I} \zeta_i \in F \subset E$. Por lo tanto,$\sqrt[n]{a}^{n/d} = \sqrt[d]{a}$$E$, así que hemos terminado.

Para ver un ejemplo de esto que no intervengan los números racionales, vamos a $k$ ser un campo y $F = k(t)$, las funciones racionales sobre $k$ en uno indeterminado. El polinomio $X^n - t$ es irreducible sobre $k(t)$, ya que es de Eisenstein en $t$. Dejamos $\sqrt[n]{t}$ denotar una de las causas de $X^n - t$, lo $F(\sqrt[n]{t}) = k(\sqrt[n]{t})$ tiene el grado $n$$k(t)$. Todas las raíces de la unidad en la $k(\sqrt[n]{t})$ - no sólo de $n$th raíces de la unidad -$k$, debido a $k(\sqrt[n]{t})$ es una función racional de campo en una indeterminada $k$ ($k$- isomorfo a $k(t)$) y hay un teorema general que las raíces de la unidad en una función racional de campo de más de $k$ están en el campo constante $k$. Por lo anterior trabajo, los únicos campos entre el$k(t)$$k(\sqrt[n]{t})$$k(\sqrt[d]{t})$$d|n$.

Un ejemplo donde la hipótesis de que todos los $n$th raíces de la unidad en la $F(\sqrt[n]{a})$ $F$ es falso, y la conclusión es cierto, sin embargo, es $F = {\mathbf Q}(i)$, $a = 2$, y $n = 8$: $[{\mathbf Q}(i,\sqrt[8]{2}):{\mathbf Q}(i)] = 8$. La extensión de ${\mathbf Q}(i,\sqrt[8]{2})/{\mathbf Q}(i)$ es de Galois con un cíclica grupo de Galois, pero no todos los 8 de raíces de la unidad son en ${\mathbf Q}(i)$.

Answer 2

Tiene usted derecho a considerar la norma de $\sqrt[n]{a}$$E$. Es un producto de los elementos de la forma $\sigma(\sqrt[n]{a})$ donde $\sigma$ es una incrustación de $K$ a $\mathbf{C}$ que corrige $E$. Desde $\sigma$ corrige $E$, en particular corrige $\mathbf{Q}$, por lo que envía a $\sqrt[n]{a}$ a otra raíz de $X^n-a$$\mathbf{C}$. Por lo tanto se debe tener la forma $\zeta\sqrt[n]{a}$ algunos $n$-ésima raíz de la unidad $\zeta$ (no estoy diciendo que la misma raíz de la unidad aparece para cada $\sigma$, sólo que para cada una de las $\sigma$, hay algunos $n$-ésima raíz de la unidad). El número de incrustaciones de $K$ a $\mathbf{C}$ que arreglar $E$ es igual al número de raíces del polinomio mínimo de a $\sqrt[n]{a}$ $E$ (piense acerca de cómo definir un homomorphism de la simple extensión de $K=E(\sqrt[n]{a})$ a alguna otra extensión de $E$, mediante la descripción de $K$ $E[X]/(g(X))$ donde $g(X)$ es el polinomio mínimo de a $\sqrt[n]{a}$). Porque estamos en característica cero, $g(X)$ tiene exactamente $[K:E]=n/d$ raíces. Es decir, se obtiene una incorporación para cada una de las $n/d$ raíces del polinomio mínimo. Así, cuando se multiplican todos estos elementos juntos, usted va a obtener una raíz de la unidad $\zeta$ de un poco de orden en tiempos de $\sqrt[n]{a}^{n/d}$. Desde $a$ es positivo (esto es fundamental), $K\subseteq\mathbf{R}$ (estoy asumiendo que usted piensa de $K$ como un subcampo de la $\mathbf{C}$ $\sqrt[n]{a}$ significa que la única positiva $n$-ésima raíz de $a$). Por lo $\zeta\sqrt[n]{a}^{n/d}\in\mathbf{R}$$\sqrt[n]{a}^{n/d}$, lo que significa que $\zeta\in\mathbf{R}$. La única raíces de la unidad en la $\mathbf{R}$$\pm 1$, lo $\zeta=\pm 1$, y por lo tanto $\sqrt[n]{a}^{n/d}=\sqrt[d]{a}$ $E$ (quiero decir, de nuevo, el único positivo $d$-ésima raíz de $a$$\mathbf{R}$). Ahora usted tiene $\mathbf{Q}(\sqrt[d]{a})\subseteq E$, y por el grado consideraciones, el uso de ese $X^n-a$ es irreducible sobre $\mathbf{Q}$, se puede concluir que esta inclusión es una igualdad.

Para la segunda parte de la pregunta, pensar acerca de cuándo una extensión de $K$ de la forma $\mathbf{Q}(\sqrt[n]{a})$ $a$ a raíz de $X^n-a$, $a>0$, y $X^n-a$ irreductible (equivalentemente,$[K:\mathbf{Q}]=n$) puede contener todas las raíces de $X^n-a$ (porque esto es lo que es necesario y suficiente para la extensión a ser Galois).