¿Por qué es $M=\{(x_i)\in R^n: \sum r_ix_i=0\}$ un módulo proyectivo?

Question

Supongamos $R$ es un conmutativa unital anillo con generadores $r_1,\dots, r_n$. ¿Cómo podemos ver que el submódulo $$ M=\{(x_1,\dots,x_n)\in R^n:\sum_{i=1}^n r_ix_i=0\} $$ es un proyectiva submódulo?

Me di cuenta de que la homomorphism $f: R^n\to R$ definido por $f(x_1,\dots,x_n)=\sum r_ix_i$ es un surjective mapa con kernel $M$, lo $R^n/M\cong R$. Esto de alguna manera no sugieren que $R^n\cong M\times R$, o, posiblemente, a que $M\cong R^{n-1}$? Sé que lo haría para espacios vectoriales por lo menos. Esa es mi esperanza, ya que, a continuación, $M$ sería un sumando directo de la libre $R$-módulo de $R^n$, por lo tanto proyectivas. Gracias.

Answer 1

Considerar el % de surjection $R^n \to R$descrito por el OP, es decir, $$(x_1,\ldots,x_n) \mapsto \sum_i r_i x_i.$ $ es un surjection $R^n \to R$. $R$ Es libre como un módulo sobre iself, nosotros podemos dividir este surjection. (Concretamente, escriba $1 = \sum_i a_i r_i,$ y definir una separación a través de $r \mapsto (ra_1,\ldots,r a_n).$)

Así $R^n \cong M \oplus R,$% y lo $M$es un sumando directo de un libre $R$ módulos, demostrando que es proyectivo.