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Utilización y condiciones de los Voluntarios de las Naciones Unidas

Estoy a punto de empezar a estudiar una licenciatura. Previamente, el matemático exámenes he estudiado han sido muy laxos en términos de la notación o la pulcritud de la prueba - que no deben ser sancionados, por ejemplo, para escribir " $f'(x)$ en lugar de $\frac{dy}{dx}$ cuando la función que se dio fue en términos de $y$. También se considera igualmente válido cuando se les da una identidad a probar, a trabajar desde el lado izquierdo y, a continuación, a partir de los RHS y unirse a los dos juntos en el medio (en lugar de una coherente de trabajo de un lado para el otro).

De todos modos, como no es algo que aparece en mi anterior plan de estudios, estoy buscando mejorar mi comprensión de la notación a utilizar cuando se acredite una declaración. Me han llegado a través de dos inconsistencias en la enseñanza de los materiales hasta el momento:

1. El uso de $=$ al $\equiv$ es válido.

Ahora, me siento cómodo con el significado de estos símbolos. Pero mi pregunta es cuando el uso de $\equiv$ o $=$ es obligatoria, y cuando es permisible. Un caso evidente para mí sería algo como: $$\frac{3x^2+34x+6}{x^2+2x-24} \equiv \frac{3x+7}{x-4} + \frac{9}{x+6}$$ Here, use of $=$ would imply it is an equation to solve, rather than something true $\forall x \in \mathbb{R}$ ($x \ne -6, 4$). All materials I have come across would use $\equiv$ aquí.

Pero ¿por qué es común a escribir $3+2=5$, cuando claramente esta no es una ecuación a resolver, sino una equivalencia? Sería $3+2 \equiv 5$ no ser más preciso? En una más caso límite, si una parte de la respuesta a una pregunta incluye la simplificación de $3(x-4)+2$$3x-10$, que el símbolo es la más apropiada? He visto tanto $ 3(x-4)+2 = 3x-10$$3(x-4)+2 \equiv 3x-10$.

La definición de la $\equiv$ símbolo (dos cosas son iguales para todos los valores de las variables utilizadas) parece contradecir la notación he visto en el uso común, basándose en su falta de uso fuera de la prueba de identidades.

2. El uso de $\implies$ o $\impliedby$ al $\iff$ es posible.

Si estoy escribiendo una prueba y que el progreso de una etapa a la siguiente, parece que $\implies$ demostraría el flujo de la lógica de forma más precisa, incluso si $\impliedby$ también es cierto y por lo tanto $\iff$ podría ser utilizado. Por ejemplo, si una pregunta a nosotros para encontrar todos los posibles valores de $x$ en algunos ecuación trigonométrica, y tuvimos simplificada a:

$$\sin(x) = 0 \implies x = n\pi\; (n \in \mathbb{Z})$$

Aquí, estoy en conflicto, debido a que $\implies$ parece ser la más coherente, como estamos interesados en el progreso de la izquierda a la derecha, pero no hacen uso de la información que progresa desde la derecha a la izquierda es válido. Sin embargo, si $\implies$ contiene dentro de ella la noción implícita de que $\require{cancel} \cancel{\impliedby}$, entonces el uso es incorrecto y debe ser reemplazado por $\iff$. Que el símbolo debe utilizarse, o ambas permisible (y la pregunta a la preferencia personal)?

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jakubby Puntos 23

Anuncio de 1. Escribir

Pero mi pregunta es cuando el uso de la ≡ o = es obligatoria, y cuando es permisible.

No hay una respuesta absoluta a esta, sin embargo, el uso de '=' entre términos como el das, que pueden ser vistos como elementos de la "función racional campo' $\mathbb{Q}(x) = \mathrm{Frac}(\mathbb{Z}[x])$ es mucho más habitual en las matemáticas modernas. El uso de $\equiv$ se ha encontrado que parece ser algún tipo de " subcultural de uso confinado a algunos libros de texto (supongo).

Para abordar explícitamente el ejemplo que usted da: os puedo asegurar que la mayoría de los matemáticos consideran

$$\frac{3x^2+34x+6}{x^2+2x-24} \equiv \frac{3x+7}{x-4} + \frac{9}{x+6}$$

una inusual notación. La mayoría de la notación habitual es escribir

$$\frac{3x^2+34x+6}{x^2+2x-24} = \frac{3x+7}{x-4} + \frac{9}{x+6}$$

y lo interpretan como una igualdad en el campo de $\mathbb{Q}(x)$ de funciones racionales. Sí, en el fondo, dependiendo de su elección de conjunto de la teoría de las fundaciones, no puede ser de clases de equivalencia en algún lugar, pero esto es irrelevante, y esto es una verdadera igualdad.

Agradecería si algún otro de la gente estaría de segundo (polémica) opinión y hablar el OP de su miedo a usar = aquí. Puede haber buenas razones para el uso de otros símbolos para esto algunas veces, pero recomendando la OP a usar lo que parezca, es sin duda engañosa.

En particular, su declaración

Todos los materiales que me han llegado a través de los usaría ≡ aquí.

si es cierto, implica que ha sido criado en un conjunto muy limitado de 'materiales'.

Y en

Pero ¿por qué es común a escribir 3+2=5, cuando claramente esta no es una ecuación a resolver, sino una equivalencia?

la declaración acerca de la "equivalencia" es incorrecto, al menos en relación a los habituales de la matemática contemporánea. Esta es una ecuación entre números naturales.

Como regla general, recuerde que

  • cuando se trabaja con los elementos de una estructura algebraica (de grupo, anillo, campo, ...), entonces la habitual relación símbolo' es '=' y el no $\equiv$.

El símbolo $\equiv$ tiene diferentes significados en diferentes contextos.

Ad 2.

Re

Sin embargo, si ⟹ contiene dentro de ella la noción implícita de que

Por favor, tenga en cuenta que la convención habitual es que el $\Rightarrow$ nunca significa $\require{cancel} \cancel{\impliedby}$. Nunca. Si, sería imposible expresar $\Leftrightarrow$ en términos de $\Rightarrow$ $\Leftarrow$.

Re

Que el símbolo debe utilizarse, o ambas permisible (y la pregunta a la preferencia personal)?

El último. Ambos son permisibles. La elección es una elección de énfasis. Y, por supuesto, ello no significa que el mismo, como usted sabe.

¿Eso ayuda?

8voto

mkoryak Puntos 18135

Es absolutamente fantástico que usted está pensando acerca de estos temas como se inicio su licenciatura de la carrera. Si sólo es más estudiantes agradecería estas sutilezas en las matemáticas. Una cosa buena en matemáticas es que todo puede ser hecho preciso.

Un par de observaciones:

  1. A menudo vamos a definir con más precisión el uso de la notación y luego inmediatamente a la violación flagrante de la convención. Insistiendo en notación precisa en todas partes no es útil porque todo se vuelve demasiado complicado. Puede ser fácil para enterrar lo que usted está tratando de comunicarse en la notación. El abuso de notación es muy común y aceptado. También, la matemática es más que un juego de notación. Aunque, estrictamente hablando, podría ser cierto en la raíz, la matemática es también acerca de las ideas.

  2. Recuerde que el contexto. Diciendo que $x^2 + x + 1=0$ podría significar una invitación para resolver la ecuación. Se podría decir que el $x$ es un definidos en cualquier otra parte y número que el número de $x^2 + x + 1$ es igual a $0$.

  3. Pregunte a su maestro. El profesor probablemente tienen ciertas preferencias a la hora de notación. No, se enfada con su maestro, porque él/ella no cumple con la notación que se han usado antes. En su lugar, se acostumbre al cambio de preferencias.

Ahora, típicamente $=$ se utiliza para decir que dos elementos de un conjunto son el mismo elemento. Diciendo "solucionar $x^2 = 2$" puede significar encontrar todos los elementos $x$ en el conjunto de $\mathbb{R}$ cuyo cuadrado es el mismo que el elemento $2$ en el conjunto de los números reales. Diciendo que $2(x-3) = 2x -6$ podría decir que el polinomio $2(x-3)$ es el mismo que el polinomio $2x - 6$. Se podría decir que la función de $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ $f(x) = 2(x-3)$ es el mismo (como elemento en un conjunto de funciones) como la función de $g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$$g(x) = 2x - 6$.

Diciendo que $\frac{x^2}{x} = x$ podría ser otra vez sobre la igualdad de funciones. Pero ¿cuál es el dominio de estas funciones? ambas funciones tienen el mismo dominio, es decir,$\mathbb{R}\setminus\{0\}$.

Usted dice que "si $\implies$ contiene dentro de ella la noción implícita de que $\require{cancel} \cancel{\impliedby}$ ..." Esto simplemente no es cierto. Usted puede, de hecho, tomar la definición de $A\iff B$ ( $A\implies B$ $B\implies A$ ). Así que, de hecho, ambas de las siguientes opciones es la correcta $$ x^2 = 1 \implica x\in \{\pm1\} \\ x^2 = 1 \iff x\in \{\pm1\} $$ Ambos son, por tanto, admisible.

Aquí está la cosa. Cuando usted está escribiendo una prueba que desea ser cuidadoso y preciso. Adquirir el hábito de la escritura $\iff$ todas partes que usted puede probablemente conducirá a utilizar erróneamente en algún momento. Cuidado es demostrar que $A\iff B$ por primera muestra $A\implies B$ y, a continuación, $B\implies A$ incluso si usted podría hacer las dos cosas al mismo tiempo.

El símbolo $\equiv$ se utiliza a menudo en maneras diferentes. Que a menudo depende de la definición. Creo que la mayoría de las fuentes no usaría $\equiv$ en el lugar de $=$.

1voto

Tyson Puntos 19

Es bueno que tienen esta inquietud en este punto.

Precisión matemática y la claridad depende del contexto, el escritor, el lector y sus orígenes.

Precisión absoluta el uso de símbolos es posible en teoría, pero en la práctica, será mucho mejor el uso de las palabras en su lugar.

Por lo tanto, si el símbolo "=" significa una ecuación (por lo que se habla acerca de si hay algo de $x$ para que la igualdad se mantiene), una declaración (por lo $x$ ha sido corregido antes y afirma que ambos lados de la igualdad son el mismo número), una identidad (así, por todas las $x$ en un cierto conjunto de los números resultantes en ambos lados de la igualdad va a ser el mismo número), o funcional de la igualdad (por lo tanto las funciones definidas implícitamente por ambas expresiones -que es a menudo imprecisa forma de definir una función - son la misma función), etc, debe ser claro por el contexto o debe estar claro sobre la marcha.

A la hora de resolver una ecuación como:$\sin(x)=0$, se debe utilizar <--> porque quiere describir el conjunto completo de soluciones, no más, no menos.

Ahora, si usted está demostrando una implicación con una cadena de implicaciones, que normalmente utilizan palabras en lugar de símbolos. En cualquier caso, afirman que dos cosas son equivalentes en lugar de simplemente decir que una implica la otra si esta sugerencia se va a producir un mejor impacto en el lector. El caso lógico para la validez de una prueba, si usted demuestra que a-->b-->c-->d entonces han demostrado que una-->d, y eso es todo lo que necesita para argumentar. Pero diciendo al lector que en realidad b<-->c puede hacer su vida más fácil o más difícil, dependiendo del contexto.

En resumen, buena matemáticas de la escritura no es acerca de la suma simbólica de precisión, se trata de entender que estás escribiendo.

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