Reducción de la fila y el polinomio característico de una matriz

Question

Puede usted fila reducir la matriz antes de calcular las $\det(\lambda I-A)$? Se esta todavía dar un equivalente polinomio característico?

Answer 1

Una presentación típica de la primaria de la fila de las operaciones de los conjuntos de tres tipos:

(1) Multiplicar una fila por un escalar distinto de cero.

(2) Agregar un múltiplo de una fila a otra.

(3) Intercambiar dos filas.

Los efectos sobre el determinante de a (cuadrado) de la matriz cuando estos son aplicados se puede determinar fácilmente. (1) se multiplica el factor determinante por el mismo escalar se utiliza para multiplicar la fila. (2) hojas el determinante sin cambios. (3) cambia el signo del determinante.

Sin embargo, incluso si los efectos acumulativos de una serie de operaciones de fila se las ingenió para dejar el determinante de a $A$ sin cambios, esto no implica que el polinomio característico se conserva. Para el polinomio característico se mantendrá sin cambios, necesitamos toda la primaria simétrica invariantes de la característica de las raíces (los coeficientes del polinomio característico, efectivamente) permanecer en el mismo.

Por simplicidad, vamos a considerar sólo el rastro de $A$, la suma de características de las raíces, que determina el coeficiente de $\lambda^{n-1}$, que es también la suma de la diagonal entradas de $A$. Operación (1) agrega $(r-1)a_{ii}$ a la traza, cuando la iésima fila se multiplica por $r$. Operación (2) añade $r a_{ij}$ a la traza, al $r$ los tiempos de la iésima fila se agrega a la jésima fila. Operación (3) añade $a_{ij}+a_{ji}-a_{ii}-a_{jj}$ para el seguimiento cuando el iésimo y jth filas se intercambian. Todos estos son bastante unpredicatable efectos de la traza, y por lo tanto en el polinomio característico.

Teniendo en cuenta el caso de una $2\times 2$ matriz, vemos que la reducción de la fila-la forma escalonada de una matriz de $A$ se ha polinomio característico, ya sea $\lambda^2$, $\lambda(\lambda-1)$, o $(\lambda-1)^2$. La reconstrucción de incluso el polinomio característico de a $A$ desde el polinomio característico de su reducido fila-forma escalonada parece difícil de manejar.

Por otro lado, tiene sentido considerar la computación $\det(\lambda I - A)$ mediante la aplicación de elementales operaciones de fila a fila reducir el $\lambda I - A$. Sin embargo, desde la matriz de entradas son polinomios, a decir de $\mathbb{R}[\lambda]$, el anillo de operaciones no son tan fáciles de llevar a cabo como en el caso de la fila de la reducción real de la matriz de $A$.

Por ejemplo, considere la matriz $A$ y su reducida escalonada $R$:

$$ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \; R = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

El polinomio característico de a$A$$\lambda^2 - 1$, mientras que el polinomio característico de a$R$$(\lambda - 1)^2$. Sólo una sola elemental de fila de la operación, el intercambio de dos filas, se requiere para cambiar $A$ a $R$.

Sin embargo, el polinomio de la matriz:

$$ \lambda I - A = \begin{pmatrix} \lambda & -1 \\ -1 & \lambda \end{pmatrix} $$

puede ser reducido por una secuencia de tres operaciones elementales con sus filas (uno de cada clase!) a la forma triangular superior:

$$ \begin{pmatrix} 1 & -\lambda \\ 0 & \lambda^2 - 1 \end{pmatrix} $$

cuyo determinante es evidentemente $\lambda^2 - 1$. Por lo tanto elementales de fila de operaciones aplicadas a $\lambda I - A$ nos puede proporcionar el polinomio característico de a $A$.

Answer 2

No, usted no puede fila reducir antes. Que se pueden obtener diferentes polinomio característico si haces eso. Por ejemplo,la matriz A=$\left[ \begin{array} {lcr} -1 & 1 & 0 \\ -4 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ \end{array} \right] $ has a characteristic polynomial (2-$\lambda$)(1-$\lambda$)$^2$ Pero la reducción de la matriz A'= $\left[ \begin{array} {lcr} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ \end{array} \right]$ has a different characteristic polynomial (2-$\lambda$)(1+$\lambda$) $^2$