Es la Subcategoría de Conjuntos Infinitos de un Groupoid?

Question

El siguiente ejercicio es dado en el texto "el Álgebra Capítulo 0" por Aluffi:

Construir una categoría de conjuntos infinitos, y explique cómo puede ser visto como una subcategoría plena de Conjunto.

Deje $\infty\text{-Set}$ denotar la categoría cuyos objetos son todos los conjuntos de $X$ $\vert X \vert=\infty$ con las funciones entre ellos. Claramente debe ser el caso de que $X,Y\in{Ob(\infty\text{-Set})}\Rightarrow \vert X \vert=\vert Y \vert=\infty$ para cualquier par de objetos que implicaría que $X\cong Y$, lo $\infty\text{-Set}$ un groupoid. Mis reservas en afirmar que la anterior categoría es un groupoid se deriva de los siguientes: $\Bbb{R}$ $\Bbb{Z}$ ambos tienen cardinalidad infinita, sino $\lnot(\Bbb{R} \cong \Bbb{Z}$), ya que sus respectivos cardinalidades son de diferentes tamaños de infinito.

Finalmente, mi pregunta es: Dado que la información en el ejercicio, puedo concluir que $\infty\text{-Set}$ es un Groupoid o en la necesidad de añadir que los objetos están restringidos a countably conjuntos infinitos o algo por el estilo? Gracias.

Answer 1

Tiene varios puntos de confusión.

En primer lugar, $|X|=\infty$ es en realidad una abreviatura de "$X$ es infinita", y no debe interpretarse literalmente. No hay ningún número cardinal "$\infty$", ya que los conjuntos infinitos tienen diferentes cardinalidades, así que usted no puede decir que si $|X|=\infty$$|Y|=\infty$$|X|=|Y|$. Realmente, la notación $|X|=\infty$ es generalmente no se utiliza, salvo en contextos donde la atención principalmente sobre conjuntos finitos, y lo que desea distinguir que un conjunto es infinito en contraste con ellos.

Segundo, decir que una categoría es un groupoid ¿ no significa que cualquiera de los dos objetos son isomorfos. Más bien, significa que todos los morfismos es un isomorfismo. Es posible tener una categoría en la que dos objetos son isomorfos, pero no todos los morfismos es un isomorfismo (entre dos objetos existe un isomorfismo, pero también existen otros morfismos que no son isomorphisms). Así, por ejemplo, incluso si se restringe a la categoría de countably conjuntos infinitos, no habría un groupoid, porque no todas las funciones entre los dos countably conjuntos infinitos es un bijection. También es posible tener un groupoid en el que no todos los objetos son isomorfos, ya que puede tener dos objetos con ningún morfismos entre ellos en todo.

Answer 2

Algunas ideas:

• "Full" subcategoría significa que conservamos todos los mapas que hicimos en $\mathsf{Set}$. Así, por ejemplo, el mapa de $f : \mathbf{Z} \to \mathbf{Z}$ definido por $f(x) = 0$ está en la categoría. No necesito decirte que esto no es un isomorfismo.

• Usted escribió $|X| = |Y| = \infty$. Generalmente, para conjuntos infinitos, hacemos uso de los números cardinales, no el símbolo $\infty$ $|X| = |Y|$ significa que hay un bijection $X \leftrightarrow Y$. Así que podríamos decir $|\mathbf{Z}| = \aleph_0$$|\mathbf{R}| = 2^{\aleph_0}$.

• Si queríamos una groupoid, podríamos solucionar algunos cardenal número $\alpha$ (por ejemplo, $\alpha = \aleph_0$ si queríamos contable de conjuntos) y mirar todos los objetos de $X$$\mathsf{Set}$$|X| = \alpha$. No debemos tomar todos los morfismos que hemos tenido en $\mathsf{Set}$ porque no se puede. En su lugar debemos restringir a los morfismos que se isomorphisms. Así que lo que acabaría con el no es un completo subcategoría.

• También podemos tener en cuenta varios números cardinales. Por ejemplo, mire la subcategoría de todos los grupos finitos cuyos morfismos son bijections. Este es un groupoid aunque algunos objetos no son isomorfos. Eso está bien, simplemente no tenemos mapas entre dichos objetos.