Norma de Hardy-Littlewood máxima operador

Question

Definimos Hardy-Littlewood máxima operador $M$ por \begin{equation} Mf(x)=\sup_{r>0} \frac{1}{|B(x,r)|} \int_{B(x,r)} |f(y)| dy \end{equation} donde $B(x,r)$ denota la bola centrada en $x \in \mathbb{R}^n$ radio $r>0$.

Deje $1\le p<\infty$. Definimos los débiles espacio de Lebesgue $wL^p(\mathbb{R}^d)$ como el conjunto de todas las funciones medibles $f$ $\mathbb{R}^d$ tal que \begin{equation} \|f\|_{wL^p}=\sup_{\gamma>0} \gamma (\{x\in \mathbb{R}^d : |f(x)|>\gamma \})^{1/p}<\infty. \end{equation}

Ya ha demostrado que el operador $M$ está delimitado de$L^1(\mathbb{R}^n)$$wL^1(\mathbb{R}^n)$, es decir, \begin{equation} \|Mf\|_{wL^{1}(\mathbb{R}^n)} \le C \|f\|_{L^1(\mathbb{R}^n)} \end{equation} donde $C>0$ no depende de $f$.

Mi pregunta es: ¿se Podría conseguir también en el lado izquierdo de la norma estimación de $M$, es decir, \begin{equation} \|Mf\|_{wL^{1}(\mathbb{R}^n)} \ge C' \|f\|_{L^1(\mathbb{R}^n)} \end{equation} donde $C'>0$ no depende de $f$.

Answer 1

Sí. Según Stein libro Singular de las Integrales y la diferenciabilidad de las Propiedades de las Funcionesde la página 23 5.2 (b), hay una constante $c$ tal que $$ |\{Mf(x)>c\,\alpha\}|\ge\frac{2^{d}}{\alpha}\int_{|f|>\alpha}|f|\,dx, $$ donde $|A|$ significa que la medida de $A$. Esto le da $$ \int_{|f|>\alpha}|f|\,dx\le \frac{2^d}{c}\bigl(c\,\alpha\,|\{Mf(x)>c\,\alpha\}|\bigr)\le\frac{2^d}{c}\|Mf\|_{wL^{1}(\mathbb{R}^d)} $$ Ahora vamos a $\alpha\to0$.