He aquí una respuesta parcial basada en mi comentario:
Como mínimo, deberías leer el otro libro de do Carmo: "Geometría Riemanniana". Sin embargo, no sé si tienes la suficiente formación para manejarlo. El libro que estás leyendo es básicamente sobre matemáticas del siglo XVIII y XIX. (Es bueno que lo estés leyendo, sigue haciéndolo, pero te prepara para la investigación actual más o menos como leer sobre mecánica clásica y electromagnetismo te prepara para la investigación de, por ejemplo, la teoría de cuerdas). En cambio, el "R.G." trata de las matemáticas del siglo XX, hasta mediados de los años 60. Sin conocer al menos los 4 primeros capítulos de la misma, te encontrarás con problemas lingüísticos básicos para entender de qué va la Geometría Diferencial moderna. Puedo escribir sobre la investigación actual en flujos geométricos o en superficies mínimas, o en la métrica de Kähler-Einstein, pero sería casi inútil en este momento.
Para hacer una investigación seria en geometría diferencial moderna también se necesita una sólida formación en:
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Topología algebraica (digamos, en la medida en que se trata en el libro "Algebraic Topology" de Hatcher).
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Análisis funcional, espacios de Sobolev, etc.
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EDP lineales y no lineales (principalmente elípticas y parabólicas), al menos si vas a hacer análisis geométrico. Véase, por ejemplo, D. Gilbarg, N. Trudinger, "Elliptic Partial Differential Equations of Second Order".
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Posiblemente otros campos, dependiendo de la subárea de geometría diferencial: Análisis complejo, geometría algebraica, topología geométrica, teoría de la medida...
Cuánto tiempo te llevaría conseguir la formación adecuada (determinada por tu futuro asesor de doctorado) para empezar a investigar, es imposible de decir, depende de demasiados factores.
