Demostrar que $[0,1] \times [0,1]$ $(0,1) \times (0,1)$ tienen la misma cardinalidad

Question

Cómo probar que $[0,1] \times [0,1]$ $(0,1) \times (0,1)$ tienen la misma cardinalidad? y $[0,1] \times [0,1]$ $(0,1) \times [0,1]$ tienen la misma cardinalidad? No sé cómo hacerlo, les agradeceria su ayuda

Answer 1

La forma más fácil es si sabe el Cantor-Bernstein-Teorema de Schröder. Este teorema dice que si $A$ $B$ son conjuntos y hay inyectiva (uno a uno), funciones de $f\colon A \to B$$g\colon B \to A$, $A$ $B$ tienen la misma cardinalidad.

Si usted toma la inyección de $h\colon \Bbb R^2 \to \Bbb R^2$ definido por $h(x,y)=(x/2,y/2)$ y restringir a cada uno de los conjuntos en cuestión, su imagen se encuentran dentro de cada uno de los otros, y listo.

Una nota sobre el teorema: si acepta el axioma de elección, entonces el C-B-S teorema sigue casi inmediatamente desde el principio de buena ordenación. Resulta que el teorema se mantiene incluso sin el axioma de elección, y de hecho sólo requiere algunos de los axiomas de la teoría de conjuntos, pero la prueba vuelve un poco más complejo. El más simple prueba, conozco se utiliza un formulario de Knaster-Tarski Lema, y ese es el que yo recomendaría el estudio de los otros que he visto son mucho más confuso.