¿Cómo resolver una ecuación con $x^4$?

Question

Hoy, he tenido esta pregunta en Matemáticas de la prueba acerca de Álgebra. Esta fue la ecuación que había que resolver:

$$(1-x)(x-5)^3=x-1$$

He trabajado fuera de los corchetes y se restan $x-1$ desde ambos lados y se quedó con esto:

$$-x^4+16x^3-90x^2+199x-124=0$$

El problema es, no tengo ni idea de cómo solucionar esto? Lo primero que probé fue la sustitución de $x^2$ con otra variable como $u$ pero eso me tiene sin más. Dividiendo toda la ecuación por $x^2$ (como es sugerido por un montón de sitios en esta materia) no se me adelante. Luego trató de algo increíblemente ridículo;

$$(ax+b)(cx^3+dx^2+ex+f)=0$$ $$ \left\{ \begin{aligned} ac &= -1 \\ ad + bc &= 16 \\ ae + bd &= -90 \\ af + be &= 199 \\ bf &= -124 \end{aligned} \right. $$

lo que empeoró aún más cuando había 3 soportes;

$$(ax+b)(gx+h)(ix^2+jx+k)=0$$ $$ \left\{ \begin{aligned} ac &= agi &&= -1 \\ ad + bc &= agj + ahi + bgi &&= 16 \\ ae + bd &= agk + ahj + bgj + bhi &&= -90 \\ af + be &= ahk + bgk + bhj &&= 199 \\ bf &= bhk &&= -124 \end{aligned} \right. $$

sólo para ser dejado sin resultado.

Cuando el uso de Wolfram Alpha en esta pregunta, se realiza un lugar extraño paso no entiendo:

$$-x^4+16x^3-90x^2+199x-124=0$$ $$\downarrow$$ $$-((x-4)(x-1)(x^2-11x+31))=0$$

Podría alguien explicar la forma adecuada de abordar este problema? Y si es posible, también me muestre cómo obtener la no-respuestas reales. Gracias.

Answer 1

EUH... Creo que complicadas cosas aquí...

es equivalente a $(1-x)(x-5)^3=x-1$ $(1-x)[(x-5)^3+1]=0$

O $x=1$ o $(x-5)^3=-1$...

Answer 2

Ya hay respuestas sobre cómo conseguir las soluciones reales, por lo que sólo le mostrará las soluciones no reales.

Han obtenido ese $(x-5)^3=-1$. Ampliar y simplificar obtenemos: $$x^3-15x^2+75x-124=0$ $ sin embargo, sabemos que $x=4$ es una solución así que podemos decir que $(x-4)(ax^2+bx+c)=0$. Usted puede igualar coeficientes o división polinómica de uso, pero que ya ha encontrado con Wolfram Alpha, $(ax^2+bx+c)=(x^2-11x+31)$.

Para resolver, completar el cuadrado: $ $$x^2-11x+31=0$ $ $$(x-\frac{11}{2})^2-\frac{121}{4}+31=0$ %#% $ $$(x-\frac{11}{2})^2=-\frac{3}{4}$ #% $ el % $ $$x-\frac{11}{2}=\sqrt{-\frac{3}{4}}= \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i$

Answer 3

Desde el principio: $$(1-x)(x-5) ^ 3 = x-1\\ (1-x)(x-5) ^ 3 +1-x = 0\\ (1-x)(x-5) ^ 3 + (1-x) = 0\\ (1-x) [(x-5) ^ 3 +1] = 0\\$ $

Esto implica $1-x=0$ o $(x-5)^3=-1$. Creo que puede resolver estos.

Answer 4

Sé que el problema ya ha sido contestado, pero yo quiero mostrar un método más general, supongamos que usted no se cómo volver a escribir la ecuación:

$-x^4+16x^3-90x^2+199x-124=0$

O prefiero escribir:

$x^4-16x^3+90x^2-199x+124=0$

Usted puede usar algo que se llama la regla de Ruffini: búsqueda divisor de los enteros (positivos y negativos) de que el término constante y, a continuación, establezca $x$ es igual a la de ellos y ver si uno de ellos es una solución. A partir de que tenemos:

$1-16+90-199+124=0$

Por lo $x=1$ es una solución, ahora a través de Ruffini la regla, que puede ser visto aquí, podemos reescribir la ecuación como:

$(x-1)(x^3-15x^2+75x-124)=0$

Ahora usted tiene 3 opciones para terminar con este ejercicio:

1) tenga en cuenta que el segundo factor es un cubo perfecto;

2) el Uso de Ruffini la regla de nuevo;

3) el Uso de la fórmula general para el tercer grado de la ecuación (que yo no había aconsejamos que si usted está interesado sólo en la solución real).

Este es un método más general así que espero que esto le ayudará en el futuro!