Cero de la derivada de la función ameromorphic

Question

Deje $f:\mathbb{C} \rightarrow \hat{\mathbb{C}}$ una función de meromorphic con una singularidad esencial en el infinito. Qué $f'(z)$ cero? No, teniendo en cuenta $z\mapsto e^z$. Pero si asumimos que ese $f$ es surjective, es cierto? y puedo decir algo en el orden de la desaparición.

Yo no soy un especialista de holomorphic función. Esta pregunta surgen en geomerty. Más precisamente mi función satisface $\frac{f'}{1+\vert f\vert^2}=O(\frac{1}{z})$, donde el lado derecho se llama el esférico derivados. Gracias a la labor de Letho,El esférico derivados de meromorphic funciones en el vecindario de una singularidad aislada, sabemos que $f$ debe ser surjective.

Añadido: La pregunta completa es: Si $f$ tiene una singularidad esencial y satisface $\frac{f'}{1+\vert f\vert^2}=O(\frac{1}{z})$, no $f'$ se desvanece? y podemos decir algo acerca de la orden de fuga.

Answer 1

Un simple contador-ejemplo es: $$f(z)=2\int_0^ze^{w^2}dw-\frac{e^{z^2}}{z}.$$ Obviamente $f$ es una función de meromorphic en $\Bbb C$ con una singularidad esencial en el infinito y $$f'(z)=\frac{e^{z^2}}{z^2}$$ no tiene ningún cero.

Para mostrar $f(\Bbb C)=\hat{\Bbb C}$, ya que el $f(0)=\infty$, supongamos que existe $c\in \Bbb C$ tal que $c\notin f(\Bbb C)$ para obtener alguna contradicción. Por nuestra suposición, $$g(z):=z(f(z)-c)=2z\int_0^ze^{w^2}dw-e^{z^2}-cz$$ es toda una función con ningún cero. Por otra parte, es fácil ver que el orden de $g$ en el infinito es $2$. Entonces por Hadamard del teorema, existe un polinomio $P$ grado $2$, de tal manera que $$g(z)=e^{P(z)}\Longrightarrow g'(z)=P'(z)g(z),$$ lo cual es absurdo.

Answer 2

Tenga en cuenta que la respuesta no es si % de función sobreyectiva meromorphic $f:\mathbb{C} \to \hat{\mathbb{C}}$se sustituye por % de toda función sobreyectiva $f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$. En este caso, un ejemplo es dado por el $$f(z)=z\cdot e^{\int_0^zg(t)dt}$$ where $g (z) = \frac {e ^ z-1} {z}. $

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