Deje $F/K$ ser una expresión algebraica de la extensión de los campos de característica cero. Si $F/K$ es normal, y cada polinomio no constante $f \in K[X]$ tiene una raíz en $F$, $F$ es algebraicamente cerrado. Esto es obvio, porque si $u$ es algebraico sobre $F$ (pongámonos de acuerdo para corregir algunos algebraicas cierre de $\overline{K}$ $K$ contiene $F$$u \in \overline{K}$), entonces es algebraico sobre $K$ con un mínimo de polinomio $f \in K[X]$, que por hipótesis debe tener uno y por lo tanto todas sus raíces en $F$. En particular,$u \in F$.
He oído que la anterior afirmación sigue siendo cierto si dejamos caer el supuesto de que $F/K$ es normal. Pero parece ser un resultado no trivial. Puede alguien ayudarme a comenzar acerca de cómo probar esto?
Pensamientos tan lejos: Es suficiente para demostrar que cada algebraicas extensión de $K$ $K$- isomorfo a un subcuerpo de $F$. Sin duda esto es cierto para cada extensión finita $E$$K$; estamos en característica cero, por lo $E = K(v)$ algunos $v \in E$. Si $f \in K[X]$ es el polinomio mínimo de a$v$$K$, $f$ tiene una raíz de $u \in F$, de donde $E$ $K$- isomorfo a el subcampo $K(u)$$F$.
Por lo tanto, estoy pensando en el próximo uso de algún tipo de Lema de Zorn argumento?
