La adición de partes fraccionarias en grupos circulares está bien definida

Question

Sea $G=\{x \in \mathbb{R}\mid 0 \leq x < 1 \}$ y para $x,y \in G$ deje $x\star y$ sea la parte fraccionaria de $x+y$ (es decir $x\star y=x+y-\lfloor x+y \rfloor$ donde $\lfloor a \rfloor $ es el mayor número entero menor o igual que a). Entonces, ¿cómo demuestro que $\star$ es una operación binaria bien definida sobre $G$ y que $G$ es un grupo abeliano bajo $\star$ ?

Gracias.Acabo de empezar teoría de grupos.Mi progreso en esto es mínimo y casi 0. Editado .

Answer 1

No se trata de "bien definidos": los elementos de $G$ son números reales, y para cada número real $r$ , $r-\lfloor r\rfloor$ es un número real situado en $[0,1)$ así, $\star$ es una función de $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ a $[0,1)$ y, por tanto, por restricción $\star$ es una función de $G\times G$ a $[0,1)\subseteq G$ .

( Nota: El siguiente párrafo se escribió cuando la definición de $G$ era que $G$ incluido $1$ ; esto se ha cambiado desde entonces).

Sin embargo, como se ha dado, $G$ no es un grupo bajo la operación: nótese que si $(G,\cdot)$ es un grupo, entonces en particular para cada $g\in G$ existe $x,y\in G$ con $x\cdot y = g$ . Sin embargo, no hay elementos de su $G$ que satisfagan $x\star y = 1$ aunque $1\in G$ .

Si Sin embargo, cambia $G$ ser $G=\{x\in\mathbb{R}\mid 0\leq x\lt 1\}$ el conjunto es un grupo (de hecho, es isomorfo a $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ ). Obsérvese que $0$ es una identidad bilateral, ya que si $x\in G$ puis $\lfloor x\rfloor = 0$ y que si $x\neq 0$ está en $G$ alors $1-x\in G$ y $x\star(1-x) = 0$ . Y trivialmente, ya que la suma de reales es conmutativa, $x\star y = y\star x$ .

Así que lo único que hay que demostrar es la asociatividad.

La clave está en observar que para todos los números reales $r$ y todos los números enteros $n$ , $$\lfloor r-n\rfloor = \lfloor r\rfloor - n.$$

Por lo tanto, si $x,y,z\in [0,1)$ entonces: $$\begin{align*} (x\star y)\star z &= \Bigl( x+y - \lfloor x+y\rfloor\Bigr)\star z\\ &= \Bigl( x+y-\lfloor x+y\rfloor + z\Bigr) - \lfloor x+y - \lfloor x+y\rfloor + z\rfloor\\ &= x+y+z - \lfloor x+y\rfloor -\Bigl( \lfloor x+y+z\rfloor - \lfloor x+y\rfloor\Bigr)\\ &= x+y+z - \lfloor x+y+z\rfloor;\\ x\star(y\star z) &= x\star\Bigl( y+z - \lfloor y+z\rfloor\Bigr)\\ &= x + y + z - \lfloor y+z\rfloor - \lfloor x+y+z-\lfloor y+z\rfloor\rfloor\\ &= x+y+z - \lfloor y+z\rfloor - \bigl( \lfloor x+y+z\rfloor - \lfloor y+z\rfloor\bigr)\\ &= x+y+z - \lfloor x+y+z\rfloor\\ &= (x\star y)\star z. \end{align*}$$

También puede ir por el camino más largo y considerar las posibilidades de $x+y\lt 1$ , $y+z\lt 1$ , $x+y+z\lt 1$ o $x+y\lt 1$ , $1\leq y+z\lt 2$ y $1\leq x+y+z\lt 2$ ; $x+y\geq 1$ , $y+z\geq 1$ y $1\leq x+y+z\lt 2$ y $x+y\geq 1$ , $y+z\geq 1$ y $2\leq x+y+z\lt 3$ . Pero la observación anterior es mucho más fácil.

Answer 2

Amplío la nota de Bill Dubuque:

Olvídate de las partes fraccionarias por el momento. Llamemos a dos números reales $x$ , $y$ equivalente si $y-x\in{\mathbb Z}$ . Denotemos la clase de equivalencia de $x\in{\mathbb R}$ por $[x]$ y el conjunto de todas las clases de equivalencia por $F$ . La definición $$[x]+[y]\ :=\ [x+y]$$ define la suma de forma unívoca en $F$ (¡comprueba esto!), $[0]$ es el elemento neutro, y la adición hereda de ${\mathbb R}$ las propiedades conocidas: conmutatividad, asociatividad y existencia de inversos (aditivos). Por tanto, $F$ es un grupo abeliano.

Ahora cada clase de equivalencia $[x]\in F$ contiene exactamente un elemento de su conjunto $G:=[0,1[\ \subset{\mathbb R}$ es decir, el número (¡bien definido!) $x-\lfloor x\rfloor$ . De ello se deduce que $G$ es un conjunto completo de representantes de $F$ . Así que en lugar de tratar con las clases puede simplemente añadir sus representantes, y eso es lo que se ha establecido en su problema.

Answer 3

Sugerencia $ $ Lo único difícil es demostrar la asociatividad. Denotemos la parte fraccionaria de un real por $\, f(r) = r - \lfloor r\rfloor = r\bmod 1.\,$ Tenga en cuenta que $\,x\star y = f(x+y).\,$ RECLAMACIÓN: $\ f(x+f(y)) = f(x+y)\,$
Prueba: sea $\,f(y) = r,\ y = r + n,\ n\in \mathbb Z.\,$ La afirmación equivale a $\,f(x+r) = f(x+r+n)\,$
lo que es cierto: añadir un número entero $\,n\,$ no altera la parte fraccionaria. Por lo tanto, aplicando la reivindicación dos veces

$$ x\star(y\star z)\ =\ f(x+f(y+z))\ =\ f(x+y+z)\ =\ f(f(x+y)+z)\ =\ (x\star y)\star z\qquad $$

Nota $ $ La misma prueba demuestra la asociatividad de la suma de números enteros $\!\bmod m,\,$ con $\,f(k) = k\bmod m.\,$ La esencia del asunto quedará mucho más clara después de aprender sobre los grupos cociente. Entonces verás que este grupo es simplemente el real grupo del círculo $\,\Bbb R/\Bbb Z = \Bbb R\bmod\Bbb Z = $ reales módulo $1\,.\,$ Que las leyes de grupo se conserven en cada imagen modular se convierte en una trivialidad desde este punto de vista general.

Answer 4

Si tiene dudas sobre lo que significa bien definido, lea la última frase de la página 1 del libro de texto.

Prueba:

Sea a,b,c∈G.

Cuando 0≤a+b<1, entonces ⌊a+b⌋=0 (véase la sección "Identidad" para probar que -0=0). Cuando 1≤a+b<2, entonces ⌊a+b⌋=1. Por tanto, G es cerrado bajo ⋆.

El mapeo a⋆b ∶ G×G → G está definido para todo a,b∈G porque G es cerrado bajo ⋆.

Defina una relación binaria ~ sobre G como sigue:

a ~ b if and only if a⋆b=a+b-⌊a+b⌋ (i.e., (a,b)∈G×G)

Reflexivo:

(a,a)∈G×G because a⋆a is defined for all a∈G.

Simétrico:

(a,b)∈G×G⇒a⋆b=a+b-⌊a+b⌋
            =b+a-⌊b+a⌋ (ring axiom (i))
            =b⋆a
         ⇒(b,a)∈G×G

Transitivo:

 (a,b),(b,c)∈G×G
⇒a⋆b=a+b+(-⌊a+b⌋)
    =b+a+(-⌊b+a⌋) (ring axiom (i))
    =b+(a+(-⌊b+a⌋)) (Proposition 1.1(5))

  and

  b⋆c=b+c+(-⌊b+c⌋)
     =b+(c+(-⌊b+c⌋)) (Proposition 1.1(5))
⇒a⋆b+(-(a+(-⌊b+a⌋)))=b+(a+(-⌊b+a⌋))+(-(a+(-⌊b+a⌋)))
                    =b+0 (group axiom (ii)) 

 and

 b⋆c+(-(c+(-⌊b+c⌋)))=b+(c+(-⌊b+c⌋))+(-(c+(-⌊b+c⌋)))
                    =b+0 (group axiom (ii))
⇒b⋆c+(-(c-⌊b+c⌋))=a⋆b+(-(a+(-⌊b+a⌋)))
⇒c⋆b+(-(c-⌊b+c⌋))=a⋆b+(-(a+(-⌊b+a⌋))) (⋆ is symmetric)
⇒c=a
⇒2c-⌊a+c⌋=a+c-⌊a+c⌋
         =a⋆c
⇒(a,c)∈G×G

Por tanto, dado que ⋆ es reflexiva, simétrica y transitiva, ⋆ es una relación de equivalencia binaria. Por la Proposición 2(1), el conjunto de clases de equivalencia de ⋆ forman una partición de G×G. Esto demuestra que ⋆ está bien definido.

Puesto que a⋆b está definida para todo a,b∈G, ⋆ está bien definida, y G es cerrado bajo ⋆, por lo que ⋆ es una operación binaria bien definida.

Asociatividad:

(a⋆b)⋆c=(a+b-⌊a+b⌋)+c-⌊(a+b-⌊a+b⌋)+c⌋
       =a+(b+(-⌊a+b⌋)+c)-⌊a+(b+(-⌊a+b⌋)+c)⌋ (group axiom (i))
       =a+(b+c+(-⌊a+b⌋))-⌊a+(b+c+(-⌊a+b⌋))⌋ (ring axiom (i))
       =a+(b+c-⌊a+b⌋)-⌊a+(b+c-⌊a+b⌋)⌋
       =a+(b+c-⌊c+b⌋)-⌊a+(b+c-⌊c+b⌋)⌋ (a=c by transitivity of ⋆ because a⋆b and b⋆c)
       =a+(b+c-⌊b+c⌋)-⌊a+(b+c-⌊b+c⌋)⌋  (ring axiom (i))
       =a⋆(b⋆c)

Identidad:

0⋆a=a⋆0 (see “Symmetric”)
   =a+0-⌊a+0⌋
   =a-⌊a⌋ (group axiom (ii))
   =a-0 or =a-1
   =a+(-0) or =a-1
   =a+(-1)0 (Proposition 7.1(4)) or =a-1
 ⇒a=a-1 (Proposition 7.1(1))                              (1)

Así, restando a de ambos lados de (1) se obtiene 0=-1. Sustituyendo 0=-1 en la ecuación (1) se obtiene que a=a y, por tanto, 0⋆a=a⋆0=a como se deseaba.

Inversos:

Sea d∈G-{0} y obsérvese que 1-d∈G-{0} para todo d∈G-{0}. La sección "Identidad" muestra que el inverso de 0 es 0.

(1-d)⋆d=d⋆(1-d) (see “Symmetric”)
       =d+(1-d)-⌊d+(1-d)⌋
       =d+(1+(-d))+(-⌊d+(1+(-d))⌋)
       =d+((-d)+1)+(-⌊d+((-d)+1)⌋) (ring axiom (i))
       =d+(-d)+1+(-⌊d+(-d)+1⌋)  (Proposition 1.1(5))       
       =0+1+(-⌊0+1⌋) (group axiom (iii))
       =1+(-⌊1⌋) (group axiom (ii))
       =1+(-1) 
       =0 (group axiom (iii))

Abeliano:

Véase "Simétrico".

Por lo tanto (G,⋆) es un grupo abeliano.